Лекция: Дроби, проценты, рациональные числа
Рациональные числа - это те, которые можно выразить в виде обыкновенной дроби.
Итак, что же все-таки такое дроби?
Дробь - число, которое показывает некоторое количество долей целого, то есть единицы.
Дроби могут быть десятичные и обыкновенные. В качестве математического действия, дробь - это, ничто иное, как деление. Любая дробь состоит из числителя (делимого), который находится вверху, знаменателя (делителя), который находится внизу, и черты дроби, которая выполняет непосредственно функцию деления. Знаменатель дроби показывает, на сколько равных частей делят некоторое целое. Числитель показывает, сколько равных частей из целого было взято.
Дробь может быть смешанной, то есть иметь и дробную и целую часть.
Например , 1; 5,03.
Обыкновенная дробь может иметь произвольный числитель и знаменатель.
Например , 1/5, 4/7, 7/11 и т.д.
Десятичная дробь в знаменателе всегда имеет числа 10, 100, 1000, 10000 и т.д.
Например , 1/10 = 0,1; 6/100 = 0,06 и т.д.
Над дробями можно производить те же математические действия, что и над целыми числами:
1. Сложение и вычитание дробей
Для данных дробей наименьшим числом, которое делится на один и второй знаменатель, является число 30.
Чтобы привести обе дроби к знаменателю 30, следует найти дополнительный множитель. Чтобы в первой дроби получить знаменатель 30, её следует умножить на 6. Чтобы во второй дроби получить знаменатель 30, её следует умножить на 5. Чтобы значение дроби не изменилось, на данные числа умножаем и числитель, и знаменатель. В результате этого получаем:
Чтобы сложить или вычесть числа с одинаковыми знаменателями, следует в результате оставить знаменатель 30, а числители сложить:
2. Умножение дробей
При умножении двух дробей, следует перемножить их числители, после чего перемножить знаменатели, и записать результат:
3. Деление дробей
При делении двух дробей необходимо вторую дробь перевернуть и выполнить действие умножение:
4. Сокращение дробей
Если числитель и знаменатель кратный некоторому одинаковому числу, то такую дробь можно сократить, разделив и числитель, и знаменатель на данное число.
В первоначальной дроби и числитель, и знаменатель делится на число 3, поэтому всю дробь можно сократить на данное число.
5. Сравнение дробей
При сравнении дробей необходимо пользоваться несколькими правилами:- Если происходит сравнение дробей, которые имеют одинаковый знаменатель, но разный числитель, то больше будет та дробь, у которой больше числитель. То есть данное сравнение сводится к сравнению числителей.
- Если дроби имеют одинаковые числители, но различные знаменатели, то необходимо сравнить знаменатели. Та дробь будет больше, чей знаменатель меньше.
- Если дроби имеют разные и числители, и знаменатели, то их необходимо привести к общему знаменателю.
Общий знаменатель - 42, следовательно, дополнительный множитель первой дроби - это 7, а дополнительный множитель для второй дроби - это 6. Получаем:
Теперь сравнение сводится к первому правилу. Больше та дробь, у которой больше знаменатель:
Проценты
Любое число, которое составляет одну сотую часть от некоторого целого, называют одним процентом .
1% = 1/100 = 0,01.
Чтобы перевести некоторую дробь в процентную запись, её следует перевести в десятичную дробь, а после этого умножить на 100%.
Например,
Проценты используют в трех основных случаях:
1. Если необходимо найти некоторый процент от числа. Представьте себе, что ежемесячно вы получаете 10% от заработной платы Ваших родителей. Однако, если Вы не знаете математики, то не сможете рассчитать, чему будут равны Ваши ежемесячные доходы. Итак, это сделать достаточно просто.
Представим, что Ваши родители ежемесячно получают 100000 рублей. Чтобы найти сумму, которую Вы должны получать ежемесячно, необходимо прибыль родителей разделить на 100 и умножить на 10%, которые Вы должны получить:
100000: 100 * 10 = 10000 (рублей).
2. Если Вам нужно узнать, какую сумму получают Ваши родители ежемесячно, если Вы знаете, что они Вам дают 6000 рублей, а это, в свою очередь, 3%, то данное действие с процентами называется нахождением числа по его проценту. Для этого необходимо получаемую сумму умножить на 100 и разделить на Ваши проценты:
6000 * 100: 3 = 200000 (рублей).
3. Если Вы в течение дня выпиваете 1 л воды, а Вам, например, необходимо выпить 2 литра воды, то Вы с легкостью можете найти значение процента выпитой воды. Для этого необходимо 1 л разделить на 2 л и умножить на 100%.
1: 2 * 100% = 50%.
| | |
Математика. Алгебра. Геометрия. Тригонометрия
АЛГЕБРА: Числа
2.2. Целые и рациональные числа. Проценты
Обыкновенные дроби.
Обыкновенная дробь
- это число вида , где m и n - натуральные числа. Число m называется числителем дроби , n - знаменателем. Если n = 1, то дробь имеет вид , но чаще пишут просто m, т. е. любое натуральное число можно представить в виде обыкновенной дроби со знаменателем 1.Дробь называется правильной, если ее числитель меньше знаменателя, и неправильной, если ее числитель больше знаменателя или равен ему. Всякую неправильную дробь можно представить в виде суммы натурального числа и правильной дроби (или в виде натурального числа, если m кратно n).
Принято сумму натурального числа и правильной дроби записывать без знака сложения, т. е. вместо пишут . Число, записанное в таком виде, называется смешанным числом. Оно состоит из целой и дробной части.
Равенство дробей. Сокращение дробей.
Две дроби и считаются равными, если ad = bc. Из определения равенства следует, что
= , т. к. . Основное свойство дроби: Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной. Пользуясь основным свойством дроби, иногда можно заменить данную дробь другой, числитель и знаменатель которой меньше данных. Такая замена называется сокращением дроби. Если числитель и знаменатель - взаимно простые числа, то сокращение не возможно и такая дробь называется несократимой.Арифметические действия над обыкновенными дробями.
Пусть даны две дроби и
, . Можно заменить эти дроби другими, равными им, таким, что у полученных дробей будут одинаковые знаменатели. Такое преобразование называется приведением дробей к общему знаменателю. Обычно стараются привести дроби к наименьшему общему знаменателю , который равен Н.О.К.( ).1. Сложение обыкновенных дробей выполняется так:
а) если знаменатели одинаковые, то числители складывают и оставляют тот же знаменатель: ;
2. Вычитание обыкновенных дробей выполняется следующим образом:
а) если знаменатели одинаковые, то
б) если знаменатели дробей различны, то дроби сначала приводят к наименьшему общему знаменателю, а затем применяют правило а).
3. Умножение обыкновенных дробей выполняется следующим образом:
4. Деление обыкновенных дробей выполняется следующим образом:
.
Десятичные дроби. Перевод десятичной дроби в обыкновенную дробь.
Десятичная дробь - это другая форма записи дроби со знаменателем Например, . Если в разложении знаменателя дроби на простые множители содержатся только 2 и 5, то эту дробь можно записать в виде десятичной; если же дробь несократима и в разложении ее знаменателя на простые множители входят другие простые множители, то эту дробь нельзя записать в виде десятичной.
В десятичной дроби можно приписывать и отбрасывать справа нули - получится равная ей дробь.
Дробь, имеющая бесконечное число знаков после запятой, называется бесконечной десятичной дробью.
Теорема 10.
Любую обыкновенную дробь можно представить в виде бесконечной десятичной дроби.Последовательно повторяющаяся группа цифр (минимальная) после запятой в десятичной записи числа называется периодом, а бесконечная десятичная дробь, имеющая период, называется периодической.
Пусть задано периодической десятичной дробью: , где 
- m-значное число, то
Ю
- формула перевода периодической десятичной дроби в обыкновенную дробь.
Проценты.
Среди десятичных дробей наиболее часто используется дробь 0,01, которая называется процентом и обозначается 1
% . Так 1 % = 0,01; 25% = 0,25; 450% = 4,5 и т. д.П р и м е р. Рабочий должен был изготовить за смену 60 деталей. По окончании рабочего дня выяснилось, что он выполнил 125
% задания. Сколько деталей изготовил рабочий?Р е ш е н и е: 1) 125
% = 1,252)60Ч 1,25 = 75.
О т в е т: 75 деталей.
Координатная прямая.
Возьмем прямую l, отметим на ней точку О, которую примем за начало отсчета, зададим направление и единичный отрезок . В этом случаи говорят, что задана координатная прямая . Каждому натуральному числу или дроби соответствует одна точка прямой l. Если точка M прямой l соответствует некоторому числу r, то это число называется координатой точки M и обозначается M(r). Числа a и -a называются противоположными. Числа, которым соответствуют точки, расположенные на координатной прямой в заданном направлении, называют положительными; числа, которым соответствуют точки, расположенные на координатной прямой в направлении, противоположном заданному, называют отрицательными. Число 0 не считается ни положительным, ни отрицательным. Точка О, соответствующая числу 0, отделяет на координатной прямой точки с положительными координатами от точек с отрицательными координатами.
Заданное направление на координатной прямой называют положительным (обычно он идет направо), а направление, противоположное заданному, - отрицательным
.Целые и рациональные числа.
Натуральные числа 1, 2, 3, … называют также положительными целыми числами. Числа -1, -2, -3, …, противоположные натуральным, называют отрицательными целыми числами. Число 0 также целым. Целые числа - натуральные числа, противоположные им и 0.
Целые числа и дроби (положительные и отрицательные) составляют множество рациональных чисел.
Copyright © 2005-2013 Xenoid v2.0
Использование материалов сайта возможно при условии указания активной ссылки
(№ 2475) Флакон шампуня стоит 200 рублей Какое наибольшее число флаконов можно купить на 1000 рублей во время распродажи, когда скидка составляет 15%?
(№ 2491) Шариковая ручка стоит 20 рублей. Какое наибольшее число таких ручек можно будет купить на 700 рублей после повышения цены на 15%?
(№ 2503) Тетрадь стоит 40 рублей. Какое наибольшее число таких тетрадей можно будет купить на 550 рублей после понижения цены на 15%?
(№ 2513) Магазин закупает цветочные горшки по оптовой цене 100 рублей за штуку. Торговая наценка составляет 15%. Какое наибольшее число таких горшков можно купить в этом магазине на 1300 рублей?
(№ 2595) Железнодорожный билет для взрослого стоит 550 рублей. Стоимость билета школьника составляет 50% от стоимости билета для взрослого. Группа состоит из 18 школьников и 4 взрослых. Сколько рублей стоят билеты на всю группу?
(№ 2601) Цена на электрический чайник была повышена на 21% и составила 3025 рублей. Сколько рублей стоил товар до повышения цены?
(№ 2617) Футболка стоила 800 рублей. После снижения цены она стала стоить 680 рублей. На сколько процентов была снижена цена на футболку?
(№ 6193) В городе N живет 250000 жителей. Среди них 15 % детей и подростков. Среди взрослых 35% не работает (пенсионеры, домохозяйки, безработные). Сколько взрослых работает?
(№ 6235) Клиент взял в банке кредит 3000 руб. на год под 12%. Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, с тем чтобы через год выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько он должен вносить в банк ежемесячно?
(№ 24285) Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. После удержания налога на доходы Мария Константиновна получила 13050 рублей. Сколько рублей составляет заработная плата Марии Константиновны?
(№ 24261) Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. Заработная плата Ивана Кузьмича равна 14500 рублей. Сколько рублей он получит после вычета налога на доходы?
(№ 2587) Оптовая цена учебника 170 рублей. Розничная цена на 20% выше оптовой. Какое наибольшее число таких учебников можно купить по розничной цене на 7000 рублей?
Тема рациональных чисел достаточно обширна. О ней можно говорить бесконечно и писать целые труды, каждый раз удивляясь новым фишкам.
Чтобы не допускать в будущем ошибок, в данном уроке мы немного углубимся в тему рациональных чисел, почерпнём из неё необходимые сведения и двинемся дальше.
Содержание урокаЧто такое рациональное число
Рациональное число — это число, которое может быть представлено в виде дроби , где a — это числитель дроби, b — знаменатель дроби. Причем b не должно быть нулём, поскольку деление на ноль не допускается.
К рациональным числам относятся следующие категории чисел:
- целые числа (например −2, −1, 0 1, 2 и т.д.)
- десятичные дроби (например 0,2 и т.п.)
- бесконечные периодические дроби (например 0,(3) и т.п.)
Каждое число из этой категории может быть представлено в виде дроби .
Пример 1. Целое число 2 может быть представлено в виде дроби . Значит число 2 относится не только к целым числам, но и к рациональным.
Пример 2. Смешанное число может быть представлено в виде дроби . Данная дробь получается путём перевода смешанного числа в неправильную дробь
Значит смешанное число относится к рациональным числам.
Пример 3. Десятичная дробь 0,2 может быть представлена в виде дроби . Данная дробь получилась путём перевода десятичной дроби 0,2 в обыкновенную дробь. Если испытываете затруднения на этом моменте, повторите тему .
Поскольку десятичная дробь 0,2 может быть представлена в виде дроби , значит она тоже относится к рациональным числам.
Пример 4. Бесконечная периодическая дробь 0, (3) может быть представлена в виде дроби . Данная дробь получается путём перевода чистой периодической дроби в обыкновенную дробь. Если испытываете затруднения на этом моменте, повторите тему .
Поскольку бесконечная периодическая дробь 0, (3) может быть представлена в виде дроби , значит она тоже относится к рациональным числам.
В дальнейшем, все числа которые можно представить в виде дроби, мы всё чаще будем называть одним словосочетанием — рациональные числа .
Рациональные числа на координатной прямой
Координатную прямую мы рассматривали, когда изучали отрицательные числа. Напомним, что это прямая линия на которой лежат множество точек. Выглядит следующим образом:
На этом рисунке приведен небольшой фрагмент координатной прямой от −5 до 5.
Отметить на координатной прямой целые числа вида 2, 0, −3 не составляет особого труда.
Намного интереснее дела обстоят с остальными числами: с обыкновенными дробями, смешанными числами, десятичными дробями и т.д. Эти числа лежат между целыми числами и этих чисел бесконечно много.
Например, отметим на координатной прямой рациональное число . Данное число располагается ровно между нулём и единицей
Попробуем понять, почему дробь вдруг расположилась между нулём и единицей.
Как уже говорилось выше, между целыми числами лежат остальные числа — обыкновенные дроби, десятичные дроби, смешанные числа и т.д. К примеру, если увеличить участок координатной прямой от 0 до 1, то можно увидеть следующую картину
Видно, что между целыми числами 0 и 1 лежат уже другие рациональные числа, которые являются знакомыми для нас десятичными дробями. Здесь же видна наша дробь , которая расположилась там же, где и десятичная дробь 0,5. Внимательное рассмотрение этого рисунка даёт ответ на вопрос почему дробь расположилась именно там.
Дробь означает разделить 1 на 2. А если разделить 1 на 2, то мы получим 0,5
Десятичную дробь 0,5 можно замаскировать и под другие дроби. Из основного свойства дроби мы знаем, что если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то значение дроби не изменится.
Если числитель и знаменатель дроби умножить на любое число, например на число 4, то мы получим новую дробь , а эта дробь также как и равна 0,5
А значит на координатной прямой дробь можно расположить там же, где и располагалась дробь
Пример 2. Попробуем отметить на координатной рациональное число . Данное число располагается ровно между числами 1 и 2
Значение дроби равно 1,5
Если увеличить участок координатной прямой от 1 до 2, то мы увидим следующую картину:
Видно, что между целыми числами 1 и 2 лежат уже другие рациональные числа, которые являются знакомыми для нас десятичными дробями. Здесь же видна наша дробь , которая расположилась там же, где и десятичная дробь 1,5.
Мы увеличивали определенные отрезки на координатной прямой, чтобы увидеть остальные числа, лежащие на этом отрезке. В результате, мы обнаруживали десятичные дроби, которые имели после запятой одну цифру.
Но это были не единственные числа, лежащие на этих отрезках. Чисел, лежащих на координатной прямой бесконечно много.
Нетрудно догадаться, что между десятичными дробями, имеющими после запятой одну цифру, лежат уже другие десятичные дроби, имеющие после запятой две цифры. Другими словами, сотые части отрезка.
К примеру, попробуем увидеть числа, которые лежат между десятичными дробями 0,1 и 0,2
Ещё пример. Десятичные дроби, имеющие две цифры после запятой и лежащие между нулём и рациональным числом 0,1 выглядят так:
Пример 3. Отметим на координатной прямой рациональное число . Данное рациональное число будет располагаться очень близко к нулю
Значение дроби равно 0,02
Если мы увеличим отрезок от 0 до 0,1 то увидим где точно расположилось рациональное число
Видно, что наше рациональное число расположилось там же, где и десятичная дробь 0,02.
Пример 4. Отметим на координатной прямой рациональное число 0, (3)
Рациональное число 0, (3) является бесконечной периодической дробью. Его дробная часть никогда не заканчивается, она бесконечная
И поскольку у числа 0,(3) дробная часть является бесконечной, это означает, что мы не сможем найти точное место на координатной прямой, где это число располагается. Мы можем лишь указать это место приблизительно.
Рациональное число 0,33333… будет располагаться очень близко к обычной десятичной дроби 0,3
Данный рисунок не показывает точное место расположения числа 0,(3). Это лишь иллюстрация, показывающая как близко может располагаться периодическая дробь 0,(3) к обычной десятичной дроби 0,3.
Пример 5. Отметим на координатной прямой рациональное число . Данное рациональное число будет располагаться посередине между числами 2 и 3
Это есть 2 (две целых) и (одна вторая). Дробь по другому ещё называют «половиной». Поэтому мы отметили на координатной прямой два целых отрезка и ещё половину отрезка.
Если перевести смешанное число в неправильную дробь, то получим обыкновенную дробь . Эта дробь на координатной прямой будет располагаться там же, где и дробь
Значение дроби равно 2,5
Если увеличить участок координатной прямой от 2 до 3, то мы увидим следующую картину:
Видно, что наше рациональное число расположилось там же, где и десятичная дробь 2,5
Минус перед рациональным числом
В предыдущем уроке, который назвался мы научились делить целые числа. В роли делимого и делителя могли стоять как положительные, так и отрицательные числа.
Рассмотрим простейшее выражение
(−6) : 2 = −3
В данном выражении делимое (−6) является отрицательным числом.
Теперь рассмотрим второе выражение
6: (−2) = −3
Здесь уже отрицательным числом является делитель (−2). Но в обоих случаях мы получаем один и тот же ответ −3.
Учитывая, что любое деление можно записать в виде дроби, мы можем рассмотренные выше примеры также записать в виде дроби:
А поскольку в обоих случаях значение дроби одинаково, минус стоящий либо в числителе либо в знаменателе можно сделать общим, поставив его перед дробью
Поэтому между выражениями и и можно поставить знак равенства, потому что они несут одно и то же значение
В дальнейшем работая с дробями, если минус будет нам встречаться в числителе или в знаменателе, мы будем делать этот минус общим, ставя его перед дробью.
Противоположные рациональные числа
Как и целое число, рациональное число имеет своё противоположное число.
Например, для рационального числа противоположным числом является . Располагается оно на координатной прямой симметрично расположению относительно начала координат. Другими словами, оба этих числа равноудалены от начала координат
Перевод смешанных чисел в неправильные дроби
Мы знаем что для того, чтобы перевести смешанное число в неправильную дробь, нужно целую часть умножить на знаменатель дробной части и прибавить к числителю дробной части. Полученное число будет числителем новой дроби, а знаменатель остаётся прежним..
Например, переведём смешанное число в неправильную дробь
Умножим целую часть на знаменатель дробной части и прибавим числитель дробной части:
Вычислим данное выражение:
(2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5
Полученное число 5 будет числителем новой дроби, а знаменатель останется прежним:
Полностью данная процедура записывается следующим образом:
Чтобы вернуть изначальное смешанное число, достаточно выделить целую часть в дроби
Но этот способ перевода смешанного числа в неправильную дробь применим только в том случае, если смешанное число является положительным. Для отрицательного числа данный способ не сработает.
Рассмотрим дробь . Выделим в этой дроби целую часть. Получим
Чтобы вернуть изначальную дробь нужно перевести смешанное число в неправильную дробь. Но если мы воспользуемся старым правилом, а именно умножим целую часть на знаменатель дробной части и к полученному числу прибавим числитель дробной части, то получим следующее противоречие:
Мы получили дробь , а должны были получить дробь .
Делаем вывод, что смешанное число в неправильную дробь переведено неправильно:
Чтобы правильно перевести отрицательное смешанное число в неправильную дробь, нужно целую часть умножить на знаменатель дробной части, и из полученного числа вычесть числитель дробной части. В этом случае у нас всё встанет на свои места
Отрицательное смешанное число является противоположным для смешанного числа . Если положительное смешанное число располагается в правой части и выглядит так
