Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве

Две прямые

Две плоскости

Прямая и плоскость

Взаимное расположение прямых в пространстве

Не имеют общую точку

не имеют общую точку

Имеют общую точку

лежат в одной плоскости

лежат в одной плоскости

не лежат в одной плоскости

скрещиваются

параллельны

пересекаются

в

в

а

А

а

а

в

Дан куб ABCDA 1B1C1D1

B 1

C 1

Укажите:

• Рёбра, которые лежат на прямых, параллельных ребру АА 1
• Рёбра, которые лежат на прямых, пересекающих ребро АА1
• Прямые, которые скрещиваются с прямой АА1

А 1

D 1

B

C

А

D

Дана пирамида ABCD Укажите:

1.плоскости, в которых лежат прямые РЕ, МК, DB, АВ, ЕС;

2.точки пересечения прямой DK с плоскостью ABC, прямой СЕ с плоскостью ADB;

3. точки, лежащие в плоскостях ADB и DBC;

4.прямые, по которым пересекаются плоскости ABC и DCB, ABD и CDA, PDC и ABC.

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

имеют множество общих точек

Имеют общую точку

Не имеют общих точек

Прямая лежит в плоскости

Прямая пересекает плоскость

Прямая и плоскость параллельны

а

а

А

а







а  

а ‖ 

S

Дана пирамида ABCS

Укажите:

1.Прямые, которые лежат в плоскости BSC

2. Прямые, пересекающие плоскость АВС

А

С

Проверим:

О

К

1. SB,SC,BC,SK

2. SA, SB,SC, SK,SO

В

Взаимное расположение плоскостей в пространстве

Общие точки есть

Общих точек нет

плоскости параллельны

плоскости пересекаются





с





 ‖ 

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Взаимное расположение прямых в пространстве. Скрещивающиеся прямые. МОУ СОШ № 63 Шипилова Е.С.

Цели урока: Ввести определение скрещивающихся прямых. Ввести формулировки и доказать признак и свойство скрещивающихся прямых.

Расположение прямых в пространстве: α α a b a b a ∩ b a || b Лежат в одной плоскости!

A 1 B 1 D 1 A B D C 1 Дан куб АВС DA 1 B 1 C 1 D 1 Являются ли параллельными прямые АА 1 и DD 1 ; АА 1 и СС 1 ? Почему? АА 1 || DD 1 , как противоположные стороны квадрата, лежат в одной плоскости и не пересекаются. АА 1 || DD 1 ; DD 1 || CC 1 →AA 1 || CC 1 по теореме о трех параллельных прямых. 2. Являются ли АА 1 и DC параллельными? Они пересекаются? Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Признак скрещивающихся прямых. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся. a b

Признак скрещивающихся прямых. Дано: АВ α , С D ∩ α = С, С АВ. a b Доказательство: Допустим, что С D и АВ лежат в одной плоскости. Пусть это будет плоскость β . Доказать, что АВ Скрещивается с С D А В С D α совпадает с β Плоскости совпадают, чего быть не может, т.к. прямая С D пересекает α . Плоскости, которой принадлежат АВ и С D не существует и следовательно по определению скрещивающихся прямых АВ скрещивается с С D. Ч.т.д.

Закрепление изученной теоремы: C 1 C A 1 B 1 D 1 A B D Определить взаимное расположение прямых АВ 1 и DC. 2. Указать взаимное расположение прямой DC и плоскости АА 1 В 1 В 3. Является ли прямая АВ 1 параллельной плоскости DD 1 С 1 С?

Теорема: Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой плоскости, и притом только одна. Дано: АВ скрещивается с С D . Построить α: АВ α , С D || α . А В C D Через точку А проведем прямую АЕ, АЕ || С D . Е 2. Прямые АВ и АЕ пересекаются и образуют плоскость α . АВ α , С D || α . α – единственная плоскость. Доказать, что α – единственная. 3. Доказательство: α – единственная по следствию из аксиом. Любая другая плоскость, которой принадлежит АВ, пересекает АЕ и, следовательно, прямую С D.

Задача. Построить плоскость α , проходящую через точку К и параллельную скрещивающимся прямым а и b . Построение: Через точку К провести прямую а 1 || а. 2. Через точку К провести прямую b 1 || b . а b К а 1 b 1 3 . Через пересекающиеся прямые проведем плоскость α . α – искомая плоскость.

Задача №34. А В С D M N P Р 1 К Дано: D (АВС), АМ = М D ; В N = ND; CP = PD К В N . Определить взаимное расположение прямых: а) ND и AB б) РК и ВС в) М N и AB

Задача №34. А В С D M N P К Дано: D (АВС), АМ = М D ; В N = ND; CP = PD К В N . Определить взаимное расположение прямых: а) ND и AB б) РК и ВС в) М N и AB г) МР и A С д) К N и A С е) М D и B С

Задача №93 α a b М N Дано: a || b MN ∩ a = M Определить взаимное расположение прямых MN u b . Скрещивающиеся.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Взаимное расположение прямых в пространстве

Цель урока: 1. Повторить и обобщить знания по темевзаимное расположение прямых в пространстве.; систематизировать полученные знания.2. Развивать умственные способности, логическое мышление и математ...

Мастер-класс: "Аксиомы стереометрии. Взаимное расположение прямых в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости"

Мастер-класс: "Аксиомы стереометрии. Взаимное расположение прямых в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости", по УМК Е.В.Потоскуев, Л.И.Звавич....

Презентация к уроку по обобщению и систематизации знаний и умений по теме "Взаимное расположение прямых в пространстве. Параллельные прямые" с использованием ЭОР.Удобно в использовании при дистанционн...

Сопровождение урока обобщения и систематизации знаний и умений по теме «Взаимное расположение прямых в пространстве. Параллельные прямые» на основе ЭОР. Содержит характеристику и ссылки на...

Разделы: Математика

Класс: 10

Тип урока: урок с применением современных компьютерных технологий.

На доске: число, тема урока, чертежи к задачам домашней работы.

На партах учащихся: листы бумаги для рефлексии, учебники, тетради, инструменты для выполнения чертежей.

Используемый УМК: компьютер, мультимедийная установка, ЦОР “Уроки геометрии Кирилла и Мефодия, 10 кл”, презентация”, учебник Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. “Геометрия, 10–11”.

Цель урока:

• Образовательная: сформировать знания учащихся о скрещивающихся прямых, рассмотреть признак скрещивающихся прямых, теорему о проведении через одну из скрещивающихся прямых плоскости, параллельной другой прямой, научить применять полученные знания на практике.
• Развивающая – работать над развитием понятийного аппарата, развивать логическое мышление, способность к исследованию, развивать навыки самоконтроля.
• Воспитательная – воспитывать ответственное отношение к труду, уверенность, трудоспособность, формировать основы научного мировоззрения, нравственные качества, навыки общения

Ход урока

1. Организационный момент. (2 мин.)

Цель: организация порядка на рабочих местах учащихся, организация внимания.

Взаимные приветствия, фиксация отсутствующих, проверка внешнего состояния классного помещения, проверка подготовленности класса к уроку (рабочее место, внешний вид, рабочая поза), организация внимания, формирование групп.

2. Подготовка учащихся к активному сознательному усвоению знаний. (10мин.)

Цель: организовать и направить к цели познавательную деятельность уч-ся.

1. Актуализация знаний по теме “Параллельные прямые в пространстве”.

Вопросы к учащимся:

– Верна ли формулировка признака параллельности прямой и плоскости: “Прямая, параллельная какой-либо прямой на плоскости, параллельна и самой плоскости?
– Прямые a и b параллельны. Какое положение может занимать прямая a относительно плоскости, проходящей через прямую b?
– Даны прямая и две пересекающиеся плоскости. Охарактеризовать все возможные случаи их взаимного расположения.

2. Проверка домашнего задания.

На предыдущем уроке учащиеся получили разноуровневое домашнее задание (Приложение ).

В группах “сильные” учащиеся проверяют решения задачи базового уровня.

Проводится обсуждение решения задачи повышенного уровня. Учащиеся комментируют решение с использованием готовых чертежей.

3. Сообщение темы, целей изучения нового материала, показ его практической значимости.

Тема: “Взаимное расположение прямых в пространстве. Скрещивающиеся прямые”

Цели урока:

– познакомиться с понятием скрещивающихся прямых
– систематизировать случаи взаимного расположения прямых в пространстве
– рассмотреть признак скрещивающихся прямых и теорему о скрещивающихся прямых
– научиться находить пары скрещивающихся прямых, применять признак.

4. Объяснение нового материала. (15 мин.)

Цель: дать учащимся конкретное представление о скрещивающихся прямых, основной идее признака, добиться восприятия, осознания первичного обобщения и систематизации новых знаний.

1. Расположение прямых в пространстве (ответ уч-ся, запись в тетради схемы).

Лежат в одной плоскости.

2. ??? Задача.

По теореме о трех параллельных прямых. Являются ли АА 1 и C параллельными?

Они пересекаются?

3. Определение: Две прямые называются скрещивающимися , если они не лежат в одной плоскости.

Третий случай расположения прямых в пространстве.

Прямые a и b не лежат в одной плоскости.

4. Признак скрещивающихся прямых.

5. Закрепление изученной теоремы. Чертеж демонстрируется через видеопроектор.

Группам розданы модели многоугольников. Рассмотреть различные пары скрещивающихся прямых на моделях, наблюдая факт, зафиксированный в признаке скрещивающихся прямых.

(Например, АА 1 В 1 В – куб. АА 1 и ДС – скрещивающиеся ребра. В каких плоскостях лежит прямая СД? Как располагается прямая АА 1 по отношению к этим плоскостям?)

6. Теорема о проведении через одну из скрещивающихся прямых плоскости, параллельной другой прямой.

Для “открытия” учащимся факта второй теоремы опять обратиться к рассмотрению моделей, каждый раз отвечая на вопросы: назовите плоскость, проходящую через одну из скрещивающихся прямых параллельно другой прямой? Сколько таких плоскостей? при рассмотрении третьей модели возникает проблема – можно ли через одну из скрещивающихся прямых построить плоскость, параллельную другой? Учащимся предлагается построить такую плоскость.

Таким образом доказали теорему о том, что через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

Физкультминутка. (1 мин.)

Цель: снять напряжение, настроиться на дальнейшую работу

Встали, подняли руки вверх, за голову, локти в сторону, выровняли спину, опустили руки. Сделали 3–4 поворота головы в одну и другую сторону.

Упражнение для спины и плечевого сустава. Руки к плечам, локти в сторону, лопатки сдвинуть, спину выровнять и сделать 3–4 круговых движения в одну и другую сторону.

Сели. Упражнение для глаз. Поднять глаза на доску, затем на тетрадь и так 3–4 раза.

5. Закрепление нового материала. (15 мин.)

Цель: закрепить полученные знания и умения, закрепить методики предстоящего ответа ученика при очередной проверке знаний

1. Задача.

Построить плоскость α, проходящую через точку К и параллельную скрещивающимся прямым а и b.

Построение:

1. Через точку К провести прямую а 1 || а.

2. Через точку К провести прямую b 1 || b.

3. Через пересекающиеся прямые проведем плоскость α. α – искомая плоскость.

2. Задача № 34 (устно, по готовому чертеже, демонстрация чертежа через видеопроектор). При решении требовать, чтобы учащиеся проговаривали формулировки признака.

3. Задача № 36.

Доказать, что b и с скрещивающиеся.

Чтобы доказать, что b и с скрещивающиеся, что надо доказать? (Что одна из них лежит в некоторой плоскости, а другая пересекает эту плоскость.)

Через какие прямые мы можем провести плоскость? (Через пересекающиеся, через параллельные.)

Если мы проведем плоскость α. через пересекающиеся прямые a и с, то прямая b будет параллельная плоскости α. То есть нужно провести плоскость α через параллельные прямые a и b.

(Оформление решения.)

6. Подведение итогов. (2 мин.)

Цель: сообщить учащимся домашнее задание, разъяснить методику его выполнения, подвести итоги урока

1. Записывают задание на дом. п.7, № 35 (воспользоваться методом от противного), № 37.

2. Анализируют урок, по схеме на слайде и сдают листочки.

• усвоил полностью, могу применять;
• усвоил полностью, но затрудняюсь применять;
• усвоил частично;
• не усвоил, нужна консультация.

• вам было на уроке:
• легко;
• обычно;
• трудно.

Учитель объявляет оценки, отвечавшим у доски и тем, кто активно работал на уроке: отличился во время обсуждения домашнего задания, во время объяснения новой темы или справился с решениями задач раньше других и учитель их проверил.

При проверке тетради смотрим, верно ли решены задачи, выполнены построения, как учащиеся оценили степень своего усвоения материала, степень сложности урока. Какие задания выполнили верно, а какие нет, берем на заметку тех, кто материал не усвоил и тех, кто усвоил все. На основании анализа готовится следующий урок..

Список литературы, использованный при подготовке к уроку:

1. Мустакимов Р.Д., “Геометрия – 10”, Казань, “Унипресс”, 1999 г.
2. Ковалева Г.И. . “Геометрия 10 класс”, Волгоград, “Учитель”, 2005 г.
3. Литвиненко В.Н.. “Задачи на развитие пространственных представлений”, М. “Просвещение”, 1991 г.

Решение задач по теме « Параллельность прямых и плоскостей. Взаимное расположение прямых в пространстве»

Цели урока:

а) образовательные:

повторить теоретический материал по теме «Параллельность прямых и плоскостей. Взаимное расположение прямых в пространстве»;

Закрепить умения: решать задачи на доказательство, опираясь на точные аргументы (знания теоретического материала);

при решении стереометрических задач применять знания, полученные при изучении планиметрии;

при выполнении рисунка к задаче учитывать наглядность и правила изображения пространственных фигур

б) развивающие: развитие навыков

самостоятельной работы,

пространственного мышления, логического мышления;

в) воспитательная: воспитывать у учащихся

умения слушать друг друга, задавать вопросы, аргументированно оценивать ответы;

интерес к предмету

Тип урока: урок совершенствования знаний, умений и навыков

Оборудование: компьютер, проектор, презентация

Ход урока.

Организационный момент. Проверка готовности к уроку.

Мотивация урока.

Слайд 3. Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить приключение.

(В. Произволов). Сегодня на уроке нам предстоит пережить много приключений.

Актуализация опорных знаний.

Слайд 4. При изучении стереометрии очень важно уметь смотреть и видеть, замечать и различать, изображать и предполагать. При решении стереометрических задач будем учиться видеть «неочевидное». Начинаем с повторения.

Назовите основные фигуры стереометрии.

Сформулируйте способы задания плоскости.

Слайд 5.

- Сформулируйте определение прямой, параллельной плоскости.

- Сформулируйте признак параллельности прямой и плоскости.

Сформулируйте важное следствие о двух пересекающихся плоскостях, одна из которых содержит прямую, параллельную другой плоскости.

Перечислите случаи взаимного расположения прямых в пространстве.

Сформулируйте определение параллельных и скрещивающихся прямых.

Сформулируйте признак скрещивающихся прямых.

Сформулируйте определение угла между двумя пересекающимися прямыми.

Какой угол называется углом между скрещивающимися прямыми?

Слайд 7,8. Устная работа. Задача1.

1) Дано: точки А,В,С,Д не принадлежат одной плоскости.

Доказать: любые три точки являются вершинами треугольника.

Сначала один ученик рассказывает решение задачи, затем показывается, как можно записать решение письменно. Т.к. метод от противного часто встречается при решении первых стереометрических задач, то необходимо еще раз продемонстрировать алгоритм применения данного метода.

Слайд 9. Задача 2.

Т.к. на первых уроках стереометрии учащиеся затрудняются с записью решения задач, то после устного решения задачи показывается, как можно, используя геометрические знаки и математические обозначения, записать решение данной задачи.

Слайд 10. Задача 3.Найти угол между пересекающимися прямыми.

Какой угол называется углом между двумя пересекающимися прямыми?

Решение задач.

Слайд 11. Решите в тетрадях самостоятельно задачу 1 .

Можно вызвать ученика к доске решать задачу на закрытой от учащихся части доски.

Слайд 12. Затем учащиеся обсуждают и проверяют решение.

Слайд 13. Задача 2. По данному условию выполнить рисунок, составить словесную модель задачи и определить величину, которую можно найти по данному условию.

К доске вызывается ученик и решает задачу с наименьшей помощью со стороны учителя. После того как задача у доски решена, учитель показывает, как можно было записать решение. Обсуждение.

Слайд 14. Задача №3. Прямая МК параллельна стороне СД ромба АВСД и не лежит в плоскости ромба. а) Выясните взаимное расположение прямых МК и ВС б) Найдите угол между прямыми МК и ВС, если

Сначала рисунок к задаче и решение обсуждается с классом. Затем учащиеся записывают решение. Готовый рисунок к задаче можно оставить по необходимости. После того, как задача решена, учитель показывает, как можно было записать решение.

Подведение итогов.

Учащиеся называют какие теоретические сведения были применены при решении задач.

Рефлексия

7) Домашнее задание.

Повторить п.1 – 9.

Решить №45(а), 46(а),38(а).

Повторить №11,23,26