Постановка задачи
Задание подразумевает знакомство пользователя с основными понятиями численных методов, такими как определитель и обратная матрица , и различными способами их вычислений. В данном теоретическом отчете простым и доступным языком сначала вводятся основные понятия и определения, на основании которых проводится дальнейшее исследование. Пользователь может не иметь специальных знаний в области численных методов и линейной алгебры , но с легкостью сможет воспользоваться результатами данной работы. Для наглядности приведена программа вычисления определителя матрицы несколькими методами, написанная на языке программирования C++. Программа используется как лабораторный стенд для создания иллюстраций к отчету. А также проводится исследование методов для решения систем линейных алгебраических уравнений . Доказывается бесполезность вычисления обратной матрицы, поэтому в работе приводится более оптимальные способы решения уравнений не вычисляя ее. Рассказывается почему существует такое количество различных методов вычисления определителей и обратных матриц и разбираются их недостатки. Также рассматриваются погрешности при вычислении определителя и оценивается достигнутая точность. Помимо русских терминов в работе используются и их английские эквиваленты для понимания, под какими названиями искать численные процедуры в библиотеках и что означают их параметры.
Основные определения и простейшие свойства
Определитель
Введем определение определителя квадратной матрицы любого порядка. Это определение будет рекуррентным
, то есть чтобы установить, что такое определитель матрицы порядка , нужно уже знать, что такое определитель матрицы порядка . Отметим также, что определитель существует только у квадратных матриц.
Определитель квадратной матрицы будем обозначать или det .
Определение 1.
Определителем
квадратной матрицы 
второго порядка называется число 
.
Определителем 
квадратной матрицы порядка , называется число 
где - определитель матрицы порядка , полученной из матрицы вычеркиванием первой строки и столбца с номером .
Для наглядности запишем, как можно вычислить определитель матрицы четвертого порядка:
Замечание.
Реальное вычисление определителей для матриц выше третьего порядка на основе определения используется в исключительных случаях. Как правило, вычисление ведется по другим алгоритмам, которые будут рассмотрены позже и которые требуют меньше вычислительной работы.
Замечание.
В определении 1 было бы точнее сказать, что определитель есть функция, определенная на множестве квадратных матриц порядка и принимающая значения в множестве чисел.
Замечание.
В литературе вместо термина "определитель" используется также термин "детерминант", имеющий тот же самый смысл. От слова "детерминант" и появилось обозначение det .
Рассмотрим некоторые свойства определителей, которые сформулируем в виде утверждений.
Утверждение 1.
При транспонировании матрицы определитель не меняется, то есть .
Утверждение 2.
Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей сомножителей, то есть .
Утверждение 3.
Если в матрице поменять местами две строки, то ее определитель сменит знак.
Утверждение 4.
Если матрица имеет две одинаковые строки, то ее определитель равен нулю.
В дальнейшем нам потребуется складывать строки и умножать строку на число. Эти действия над строками (столбцами) мы будем выполнять так же, как действия над матрицами-строками (матрицами-столбцами), то есть поэлементно. Результатом будет служить строка (столбец), как правило, не совпадающая со строками исходной матрицы. При наличии операций сложения строк (столбцов) и умножения их на число мы можем говорить и о линейных комбинациях строк (столбцов), то есть суммах с числовыми коэффициентами.
Утверждение 5.
Если строку матрицы умножить на число , то ее определитель умножится на это число.
Утверждение 6.
Если матрица содержит нулевую строку, то ее определитель равен нулю.
Утверждение 7.
Если одна из строк матрицы равна другой, умноженной на число (строки пропорциональны), то определитель матрицы равен нулю.
Утверждение 8.
Пусть в матрице i-ая строка имеет вид . Тогда , где матрица получается из матрицы заменой i-ой строки на строку , а матрица - заменой i-ой строки на строку .
Утверждение 9.
Если к одной из строк матрицы добавить другую, умноженную на число, то определитель матрицы не изменится.
Утверждение 10.
Если одна из строк матрицы является линейной комбинацией других ее строк, то определитель матрицы равен нулю.
Определение 2.
Алгебраическим дополнением
к элементу матрицы называется число, равное , где - определитель матрицы, полученной из матрицы вычеркиванием i-ой строки и j-ого столбца.
Алгебраическое дополнение к элементу матрицы обозначается .
Пример.
Пусть 
.
Тогда 
Замечание.
Используя алгебраические дополнения, определение 1 определителя можно записать так: 
Утверждение 11.
Разложение определителя по произвольной строке.
Для определителя матрицы справедлива формула 
Пример.
Вычислите 
.
Решение.
Воспользуемся разложением по третьей строке, так выгоднее, поскольку в третьей строке два числа из трех - нули. Получим
Утверждение 12.
Для квадратной матрицы порядка при выполнено соотношение 
.
Утверждение 13.
Все свойства определителя, сформулированные для строк (утверждения 1 - 11), справедливы и для столбцов, в частности, справедливо разложение определителя по j-ому столбцу 
и равенство 
при .
Утверждение 14.
Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов ее главной диагонали.
Следствие.
Определитель единичной матрицы равен единице, .
Вывод.
Перечисленные выше свойства позволяют находить определители матриц достаточно высоких порядков при сравнительно небольшом объеме вычислений. Алгоритм вычислений следующий.
Алгоритм создания нулей в столбце.
Пусть требуется вычислить определитель порядка . Если , то поменяем местами первую строку и любую другую, в которой первый элемент не нуль. В результате определитель , будет равен определителю новой матрицы с противоположным знаком. Если же первый элемент каждой строки равен нулю, то матрица имеет нулевой столбец и по утверждениям 1, 13 ее определитель равен нулю.
Итак, считаем, что уже в исходной матрице . Первую строку оставляем без изменений. Прибавим ко второй строке первую строку, умноженную на число . Тогда первый элемент второй строки будет равен 
.
Остальные элементы новой второй строки обозначим , . Определитель новой матрицы по утверждению 9 равен .
Первую строку умножим на число и прибавим к третьей. Первый элемент новой третьей строки будет равен 
Остальные элементы новой третьей строки обозначим , . Определитель новой матрицы по утверждению 9 равен .
Процесс получения нулей вместо первых элементов строк продолжим дальше. Наконец, первую строку умножим на число и прибавим к последней строке. В результате получается матрица, обозначим ее , которая имеет вид 
причем . Для вычисления определителя матрицы используем разложение по первому столбцу
Так как , то 
В правой части стоит определитель матрицы порядка . К нему применим тот же алгоритм, и вычисление определителя матрицы сведется к вычислению определителя матрицы порядка . Процесс повторяем до тех пор, пока не дойдем до определителя второго порядка, который вычисляется по определению.
Если матрица не обладает какими-то специфическими свойствами, то заметно уменьшить объем вычислений по сравнению с предложенным алгоритмом не удается. Еще одна хорошая сторона этого алгоритма - по нему легко составить программу для компьютера для вычисления определителей матриц больших порядков. В стандартных программах вычисления определителей используется этот алгоритм с не принципиальными изменениями, связанными с минимизацией влияния ошибок округления и погрешностей входных данных при вычислениях компьютера.
Пример.
Вычислите определитель матрицы 
.
Решение.
Первую строку оставляем без изменения. Ко второй строке прибавляем первую, умноженную на число :
Определитель не меняется. К третьей строке прибавляем первую, умноженную на число :
Определитель не меняется. К четвертой строке прибавляем первую, умноженную на число :
Определитель не меняется. В результате получаем 
По тому же алгоритму считаем определитель матрицы порядка 3, стоящий справа. Первую строку оставляем без изменений, ко второй строке прибавляем первую, умноженную на число 
:
К третьей строке прибавляем первую, умноженную на число 
:
В результате получаем
Ответ.
.
Замечание.
Хотя при вычислениях использовались дроби, результат оказался целым числом. Действительно, используя свойства определителей и то, что исходные числа - целые, операций с дробями можно было бы избежать. Но в инженерной практике числа крайне редко бывают целыми. Поэтому, как правило, элементы определителя будут десятичными дробями и применять какие-то ухищрения для упрощения вычислений нецелесообразно.
Обратная матрица
Определение 3.
Матрица называется обратной матрицей
для квадратной матрицы , если .
Из определения следует, что обратная матрица будет квадратной матрицей того же порядка, что и матрица (иначе одно из произведений или было бы не определено).
Обратная матрица для матрицы обозначается . Таким образом, если существует, то .
Из определения обратной матрицы следует, что матрица является обратной для матрицы , то есть . Про матрицы и можно говорить, что они обратны друг другу или взаимно обратны.
Если определитель матрицы равен нулю, то обратная к ней не существует.
Так как для нахождения обратной матрицы важно, равен ли определитель марицы нулю или нет, то введем следующие определения.
Определение 4.
Квадратную матрицу назовем вырожденной
или особенной матрицей
, если , и невырожденной
или неособенной матрицей
, если .
Утверждение.
Если обратная матрица существует, то она единственна.
Утверждение.
Если квадратная матрица является невырожденной, то обратная для нее существует и 
(1)
где - алгебраические дополнения к элементам .
Теорема.
Обратная матрица для квадратной матрицы существует тогда и только тогда, когда матрица - невырожденная, обратная матрица единственна, и справедлива формула (1).
Замечание.
Следует обратить особое внимание на места, занимаемые алгебраическими дополнениями в формуле обратной матрицы: первый индекс показывает номер столбца
, а второй - номер строки
, в которые нужно записать вычисленное алгебраическое дополнение.
Пример.
.
Решение.
Находим определитель
Так как , то матрица - невырожденная, и обратная для нее существует.
Находим алгебраические дополнения:
Составляем обратную матрицу, размещая найденные алгебраические дополнения так, чтобы первый индекс соответствовал столбцу, а второй - строке: 
(2)
Полученная матрица (2) и служит ответом к задаче.
Замечание.
В предыдущем примере было бы точнее ответ записать так:
(3)
Однако запись (2) более компактна и с ней удобнее проводить дальнейшие вычисления, если таковые потребуются. Поэтому запись ответа в виде (2) предпочтительнее, если элементы матриц - целые числа. И наоборот, если элементы матрицы - десятичные дроби, то обратную матрицу лучше записать без множителя впереди.
Замечание.
При нахождении обратной матрицы приходится выполнять довольно много вычислений и необычно правило расстановки алгебраических дополнений в итоговой матрице. Поэтому велика вероятность ошибки. Чтобы избежать ошибок следует делать проверку: вычислить произведение исходной матрицы на итоговую в том или ином порядке. Если в результате получится единичная матрица, то обратная матрица найдена правильно. В противном случае нужно искать ошибку.
Пример.
Найдите обратную матрицу для матрицы 
.
Решение.
- существует.
Ответ:
.
Вывод.
Нахождение обратной матрицы по формуле (1) требует слишком много вычислений. Для матриц четвертого порядка и выше это неприемлемо. Реальный алгоритм нахождения обратной матрицы будет приведен позже.
Вычисление определителя и обратной матрицы с помощью метода Гаусса
Метод Гаусса можно использовать для нахождения определителя и обратной матрицы .
Именно, определитель матрицы равен det .
Обратная матрица находится решением систем линейных уравнений методом исключения Гаусса:
Где есть j-тый столбец единичной матрицы , - искомый вектор.
Полученные векторы решений - образуют, очевидно, столбцов матрицы , поскольку .
Формулы для определителя
1.
Если матрица невырожденная, то и
(произведение ведущих элементов).
Матрицы применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или
дифференциальных уравнений. При этом количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а
количество столбцов – количеству неизвестных. Как результат – решение систем линейных уравнений сводится
к операциям над матрицами.
Матрица записывается в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (к примеру, целых,
комплексных или действительных чисел). Является совокупностью строк и столбцов, на пересечении которых
находятся ее элементы. Размер матрицы задается количеством строк и столбцов.
Важным значением любой матрицы является её определитель, который вычисляется по определённой формуле.
Вручную необходимо проделать ряд операций с матрицей, чтобы вычислить её определитель. Определитель
может быть как положительным, так отрицательным, так и равен нулю.
Чтобы проверить свои вычисления определителя матрицы, Вы можете воспользоваться нашим онлайн
калькулятором. Онлайн калькулятор мгновенно посчитает определитель матрицы и выдаст точное
значение.
Определитель матрицы – это своеобразная характеристика матрицы, а точнее с помощью него можно определить
имеет ли соответствующая система уравнений решение. Определитель матрицы широко используется в науке,
такой как физика, с помощью которого вычисляется физический смысл многих величин.
Решение систем линейных алгебраических уравнений
Также с помощью нашего калькулятора вы сможете решить систему линейных алгебраических уравнений
(СЛАУ).
Решение систем линейных алгебраических уравнений входит в число обычных задач линейной алгебры. СЛАУ и
методы их решения лежат в основе многих прикладных направлений, в том числе в эконометрике и линейном
программировании.
Бесплатный онлайн калькулятор
Наш бесплатный решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что
вам необходимо
сделать - это просто ввести свои данные в калькуляторе. Так же вы можете посмотреть
видео
инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы
можете задать их в нашей группе ВКонтакте http://vk.com/pocketteacher.
Вступайте
в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.
Определение1. 7
. Минором
элемента определителя называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания строки и столбца, в которых стоит выбранный элемент.
Обозначение: выбранный элемент определителя, его минор.
Пример. Для 
Определение1. 8.
Алгебраическим дополнением
элемента определителя называется его минор, если сумма индексов данного элемента i+j есть число четное, или число, противоположное минору, если i+j нечетно, т.е. 
Рассмотрим еще один способ вычисления определителей третьего порядка – так называемое разложение по строке или столбцу. Для этого докажем следующую теорему:
Теорема 1.1
. Определитель равен сумме произведений элементов любой его строки или столбца на их алгебраические дополнения, т.е.
где i=1,2,3.
Доказательство.
Докажем теорему для первой строки определителя, так как для любой другой строки или столбца можно провести аналогичные рассуждения и получить тот же результат.
Найдем алгебраические дополнения к элементам первой строки:
Таким образом, для вычисления определителя достаточно найти алгебраические дополнения к элементам какой-либо строки или столбца и вычислить сумму их произведений на соответствующие элементы определителя.
Пример. Вычислим определитель с помощью разложения по первому столбцу. Заметим, что при этом искать не требуется, так как следовательно, и Найдем и 
Следовательно,
Определители более высоких порядков
.
Определение1. 9
. Определитель n-го порядка
есть сумма n! членов 
каждый из которых соответствует одному из n! упорядоченных множеств полученных r попарными перестановками элементов из множества 1,2,…,n.
Замечание 1. Свойства определителей 3-го порядка справедливы и для определителей n-го порядка.
Замечание 2. На практике определители высоких порядков вычисляют с помощью разложения по строке или столбцу. Это позволяет понизить порядок вычисляемых определителей и в конечном счете свести задачу к нахождению определителей 3-го порядка.
Пример. Вычислим определитель 4-го порядка 
с помощью разложения по 2-му столбцу. Для этого найдем и :
Следовательно,
Теоре́ма Лапла́са
- одна из теорем линейной алгебры. Названа в честь французского математика Пьера-Симона Лапласа (1749 - 1827), которому приписывают формулирование этой теоремы в 1772 году , хотя частный случай этой теоремы о разложении определителя по строке (столбцу) был известен ещё Лейбницу.
олнение
минора определяется следующим образом:
Справедливо следующее утверждение.
Число миноров, по которым берётся сумма в теореме Лапласа, равно числу способов выбрать столбцов из , то есть биномиальному коэффициенту .
Так как строки и столбцы матрицы равносильны относительно свойств определителя, теорему Лапласа можно сформулировать и для столбцов матрицы.
Разложение определителя по строке (столбцу) (Следствие 1)
Широко известен частный случай теоремы Лапласа - разложение определителя по строке или столбцу. Он позволяет представить определитель квадратной матрицы в виде суммы произведений элементов любой её строки или столбца на их алгебраические дополнения.
Пусть - квадратная матрица размера . Пусть также задан некоторый номер строки либо номер столбца матрицы . Тогда определитель может быть вычислен по следующим формулам.
Для определителя четвёртого и более высоких порядков обычно применяются иные методы вычисления, нежели использование готовых формул как для вычисления определителей второго и третьего порядков . Один из методов вычисления определителей высших порядков - использование следствия из теоремы Лапласа (саму теорему можно посмотреть, например, в книге А.Г. Куроша «Курс высшей алгебры»). Это следствие позволяет разложить определитель по элементам некоторой строки или столбца. При этом вычисление определителя n-го порядка сводится к вычислению n определителей (n-1)-го порядка. Именно поэтому такое преобразование именуют понижением порядка определителя. Например, вычисление определителя четвёртого порядка сводится к нахождению четырёх определителей третьего порядка.
Допустим, нам задана квадратная матрица n-го порядка, т.е. $A=\left(\begin{array} {cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \\
\end{array} \right)$. Вычислить определитель этой матрицы можно, разложив его по строке или по столбцу.
Зафиксируем некоторую строку, номер которой равен $i$. Тогда определитель матрицы $A_{n\times n}$ можно разложить по выбранной i-й строке, используя следующую формулу:
\begin{equation}
\Delta A=\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\ldots+a_{in}A_{in}
\end{equation}
$A_{ij}$ обозначает алгебраическое дополнение элемента $a_{ij}$. Для подробной информации об этом понятии рекомендую глянуть тему Алгебраические дополнения и миноры . Запись $a_{ij}$ обозначает элемент матрицы или определителя, расположенный на пересечении i-й строки j-го столбца. Для более полной информации можно глянуть тему Матрицы. Виды матриц. Основные термины .
Допустим, мы хотим найти сумму $1^2+2^2+3^2+4^2+5^2$. Какой фразой можно охарактеризовать запись $1^2+2^2+3^2+4^2+5^2$? Можно сказать так: это сумма единицы в квадрате, двойки в квадрате, тройки в квадрате, четвёрки в квадрате и пятёрки в квадрате. А можно сказать покороче: это сумма квадратов целых чисел от 1 до 5. Чтобы выражать сумму более коротко и служит запись с помощью буквы $\sum$ (это греческая буква "сигма").
Вместо $1^2+2^2+3^2+4^2+5^2$ мы можем использовать такую запись: $\sum\limits_{i=1}^{5}i^2$. Буква $i$ именуется индексом суммирования
, а числа 1 (начальное значение $i$) и 5 (конечное значение $i$) называются нижним и верхним пределами суммирования
соответственно.
Расшифруем запись $\sum\limits_{i=1}^{5}i^2$ подробно. Если $i=1$, то $i^2=1^2$, поэтому первым слагаемым данной суммы будет число $1^2$:
$$
\sum\limits_{i=1}^{5}i^2=1^2+\ldots
$$
Следующее целое число после единицы - двойка, поэтому подставляя $i=2$, получим: $i^2=2^2$. Сумма теперь станет такой:
$$
\sum\limits_{i=1}^{5}i^2=1^2+2^2+\ldots
$$
После двойки следующее число - тройка, поэтому подставляя $i=3$ будем иметь: $i^2=3^2$. И сумма примет вид:
$$
\sum\limits_{i=1}^{5}i^2=1^2+2^2+3^2+\ldots
$$
Осталось подставить лишь два числа: 4 и 5. Если подставить $i=4$, то $i^2=4^2$, а если подставить $i=5$, то $i^2=5^2$. Значения $i$ достигли верхнего предела суммирования, поэтому слагаемое $5^2$ будет последним. Итак, окончательно сумма теперь такова:
$$
\sum\limits_{i=1}^{5}i^2=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2.
$$
Эту сумму можно и вычислить, банально сложив числа: $\sum\limits_{i=1}^{5}i^2=55$.
Для практики попробуйте записать и вычислить следующую сумму: $\sum\limits_{k=3}^{8}(5k+2)$. Индекс суммирования здесь - буква $k$, нижний предел суммирования равен 3, а верхний предел суммирования равен 8.
$$
\sum\limits_{k=3}^{8}(5k+2)=17+22+27+32+37+42=177.
$$
Аналог формулы (1) существует и для столбцов. Формула для разложения определителя по j-му столбцу выглядит следующим образом:
\begin{equation}
\Delta A=\sum\limits_{i=1}^{n}a_{ij}A_{ij}=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\ldots+a_{nj}A_{nj}
\end{equation}
Правила, выраженные формулами (1) и (2), можно сформулировать так: определитель равен сумме произведений элементов некоей строки или столбца на алгебраические дополнения этих элементов. Для наглядности рассмотрим определитель четвёртого порядка, записанный в общем виде. Для примера разложим его по элементам четвёртого столбца (элементы этого столбца выделены зелёным цветом):
$$\Delta=\left| \begin{array} {cccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & \normgreen{a_{14}} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & \normgreen{a_{24}} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & \normgreen{a_{34}} \\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & \normgreen{a_{44}} \\
\end{array} \right|$$
$$
\Delta
=\normgreen{a_{14}}\cdot{A_{14}}+\normgreen{a_{24}}\cdot{A_{24}}+\normgreen{a_{34}}\cdot{A_{34}}+\normgreen{a_{44}}\cdot{A_{44}}
$$
Аналогично, раскладывая, к примеру, по третьей строке, получим такую формулу для вычисления определителя:
$$
\Delta
=a_{31}\cdot{A_{31}}+a_{32}\cdot{A_{32}}+a_{33}\cdot{A_{33}}+a_{34}\cdot{A_{34}}
$$
Пример №1
Вычислить определитель матрицы $A=\left(\begin{array} {ccc} 5 & -4 & 3 \\ 7 & 2 & -1 \\ 9 & 0 & 4 \end{array} \right)$, используя разложение по первой строке и второму столбцу.
Нам нужно вычислить определитель третьего порядка $\Delta A=\left| \begin{array} {ccc} 5 & -4 & 3 \\ 7 & 2 & -1 \\ 9 & 0 & 4 \end{array} \right|$. Чтобы разложить его по первой строке нужно использовать формулу . Запишем это разложение в общем виде:
$$
\Delta A= a_{11}\cdot A_{11}+a_{12}\cdot A_{12}+a_{13}\cdot A_{13}.
$$
Для нашей матрицы $a_{11}=5$, $a_{12}=-4$, $a_{13}=3$. Для вычисления алгебраических дополнений $A_{11}$, $A_{12}$, $A_{13}$ станем использовать формулу №1 из темы, посвящённой . Итак, искомые алгебраические дополнения таковы:
\begin{aligned}
& A_{11}=(-1)^2\cdot \left| \begin{array} {cc} 2 & -1 \\ 0 & 4 \end{array} \right|=2\cdot 4-(-1)\cdot 0=8;\\
& A_{12}=(-1)^3\cdot \left| \begin{array} {cc} 7 & -1 \\ 9 & 4 \end{array} \right|=-(7\cdot 4-(-1)\cdot 9)=-37;\\
& A_{13}=(-1)^4\cdot \left| \begin{array} {cc} 7 & 2 \\ 9 & 0 \end{array} \right|=7\cdot 0-2\cdot 9=-18.
\end{aligned}
Как мы нашли алгебраические дополнения? показать\скрыть
Подставляя все найденные значения в записанную выше формулу, получим:
$$
\Delta A= a_{11}\cdot A_{11}+a_{12}\cdot A_{12}+a_{13}\cdot A_{13}=5\cdot{8}+(-4)\cdot(-37)+3\cdot(-18)=134.
$$
Как видите, процесс нахождения определителя третьего порядка мы свели к вычислению значений трёх определителей второго порядка. Иными словами, мы понизили порядок исходного определителя.
Обычно в таких простых случаях не расписывают решение подробно, отдельно находя алгебраические дополнения, а уж затем подставляя их в формулу для вычисления определителя. Чаще всего просто продолжают запись общей формулы, - до тех пор, пока не будет получен ответ. Именно так мы станем раскладывать определитель по второму столбцу.
Итак, приступим к разложению определителя по второму столбцу. Вспомогательных вычислений производить не будем, - просто продолжим формулу до получения ответа. Обратите внимание, что во втором столбце один элемент равен нулю, т.е. $a_{32}=0$. Это говорит о том, что слагаемое $a_{32}\cdot A_{32}=0\cdot A_{23}=0$. Используя формулу для разложения по второму столбцу, получим:
$$
\Delta A= a_{12}\cdot A_{12}+a_{22}\cdot A_{22}+a_{32}\cdot A_{32}=-4\cdot (-1)\cdot \left| \begin{array} {cc} 7 & -1 \\ 9 & 4 \end{array} \right|+2\cdot \left| \begin{array} {cc} 5 & 3 \\ 9 & 4 \end{array} \right|=4\cdot 37+2\cdot (-7)=134.
$$
Ответ получен. Естественно, что результат разложения по второму столбцу совпал с результатом разложения по первой строке, ибо мы раскладывали один и тот же определитель. Заметьте, что при разложении по второму столбцу мы делали меньше вычислений, так как один элемент второго столбца был равен нулю. Именно исходя из таких соображений для разложения стараются выбирать тот столбец или строку, которые содержат побольше нулей.
Ответ
: $\Delta A=134$.
Пример №2
Вычислить определитель матрицы $A=\left(\begin{array} {cccc}
-1 & 3 & 2 & -3\\
4 & -2 & 5 & 1\\
-5 & 0 & -4 & 0\\
9 & 7 & 8 & -7 \end{array} \right)$, используя разложение по выбранной строке или столбцу.
Для разложения выгоднее всего выбирать ту строку или столбец, которые содержат более всего нулей. Естественно, что в данном случае имеет смысл раскладывать по третьей строке, так как она содержит два элемента, равных нулю. Используя формулу, запишем разложение определителя по третьей строке:
$$
\Delta A= a_{31}\cdot A_{31}+a_{32}\cdot A_{32}+a_{33}\cdot A_{33}+a_{34}\cdot A_{34}.
$$
Так как $a_{31}=-5$, $a_{32}=0$, $a_{33}=-4$, $a_{34}=0$, то записанная выше формула станет такой:
$$
\Delta A= -5 \cdot A_{31}-4\cdot A_{33}.
$$
Обратимся к алгебраическим дополнениям $A_{31}$ и $A_{33}$. Для их вычисления будем использовать формулу №2 из темы, посвящённой определителям второго и третьего порядков (в этом же разделе есть подробные примеры применения данной формулы).
\begin{aligned}
& A_{31}=(-1)^4\cdot \left| \begin{array} {ccc} 3 & 2 & -3 \\ -2 & 5 & 1 \\ 7 & 8 & -7 \end{array} \right|=10;\\
& A_{33}=(-1)^6\cdot \left| \begin{array} {ccc} -1 & 3 & -3 \\ 4 & -2 & 1 \\ 9 & 7 & -7 \end{array} \right|=-34.
\end{aligned}
Подставляя полученные данные в формулу для определителя, будем иметь:
$$
\Delta A= -5 \cdot A_{31}-4\cdot A_{33}=-5\cdot 10-4\cdot (-34)=86.
$$
В принципе, всё решение можно записать в одну строку. Если пропустить все пояснения и промежуточные вычисления, то запись решения будет такова:
$$
\Delta A= a_{31}\cdot A_{31}+a_{32}\cdot A_{32}+a_{33}\cdot A_{33}+a_{34}\cdot A_{34}=\\=
-5 \cdot (-1)^4\cdot \left| \begin{array} {ccc} 3 & 2 & -3 \\ -2 & 5 & 1 \\ 7 & 8 & -7 \end{array} \right|-4\cdot (-1)^6\cdot \left| \begin{array} {ccc} -1 & 3 & -3 \\ 4 & -2 & 1 \\ 9 & 7 & -7 \end{array} \right|=-5\cdot 10-4\cdot (-34)=86.
$$
Ответ
: $\Delta A=86$.
Похожие записи
Стрелковое оружие
9-мм пистолет «VIS»
Разработка польских конструкторов - Петра Вильневчица и Яна Скршипиньского, взявших за основу...
Какой город был первой резиденцией императора Западной Римской империи? Из-за чего началась война императора Валентиниана и Аттилы?...
