Функции и их свойства
y
y = f( x )
x
0
Понятие функции
Если каждому значению х из некоторого множества чисел поставлено в соответствие число у , то говорят, что на этом множ е стве задана функция у(х) .
При этом х называют независимой переменной или аргументом ,
а у – зависимой переменной или функцией .
y = f(x)
Область определения и
множество значений функции
Областью определения функции называют множество всех значений, которые может принимать ее аргумент.
Обозначается D(y)
Множество значений (или область значений) функции – это множество всех значений переменной у.
Обозначается E(y)
Способы задания функции:
- аналитический (с помощью формулы);
- графический (с помощью графика);
- табличный (с помощью таблицы значений);
- словесный (правило задания функции описывается словами).
f(x 2) . (Функцию называют убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции) " width="640"
Свойства функций:
монотонность
Функцию y = f(x) называют возрастающей х 1 2 , выполняется условие f(x 1 ) 2 ) .
(Функцию называют возрастающей, если большему большее значение функции)
Функцию y = f(x) называют убывающей на множестве Х, если для любых двух элементов из этого множества, таких, что х 1 2 , выполняется условие f(x 1 ) f(x 2 ) .
(Функцию называют убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции)
m . Функцию y = f(x) называют ограниченной сверху на множестве Х, если существует число M , такое, что для любого значения х ∊ Х, выполняется неравенство f(x) M . Если функция ограничена и снизу и сверху, то ее называют ограниченной " width="640"
Свойства функций:
ограниченность
Функцию y = f(x) называют ограниченной снизу m ∊ Х, выполняется неравенство
f(x) m .
Функцию y = f(x) называют ограниченной сверху на множестве Х, если существует число M , такое, что для любого значения х ∊ Х, выполняется неравенство
f(x) M .
Если функция ограничена и снизу и сверху, то ее называют ограниченной
Свойства функций:
наибольшее и наименьшее значения функции
Число m называют наименьшим значением функции y = f(x) на множестве Х, если:
существует число х о ∊ Х такое, что f( х o ) = m ;
для любого значения х ∊ Х выполняется неравенство
f(x) ≥ f(x o ) .
Число М называют наибольшим значением функции y = f(x) на множестве Х, если:
существует число х о ∊ Х такое, что f( х o ) = М ;
для любого значения х ∊ Х выполняется неравенство
f(x) ≤ f(x o ) .
Свойства функций:
четность или нечетность
Функцию y = f(x) , х ∊ Х называют четной f( - x) = f(x) .
График четной оси ординат .
Функцию y = f(x) , х ∊ Х называют нечетной , если для любого значения х из множества Х выполняется равенство f( – x) = – f(x) .
График нечетной функции симметричен относительно начала координат .
f(x o) . Точки максимума и минимума объединяют общим названием – точки экстремума " width="640"
Свойства функций:
точки экстремума
Точку х о называют точкой максимума функции y = f(x) о ) выполняется неравенство
f(x) f(x o ) .
Точку х о называют точкой минимума функции y = f(x) , если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой (кроме самой точки х о ) выполняется неравенство
f(x) f(x o ) .
Точки максимума и минимума объединяют общим названием – точки экстремума
Свойства функций:
периодичность
Говорят, что функция y = f(x) , х ∊ Х имеет период Т , если для любого х ∊ Х выполняется равенство
f(x – Т ) = f(x) = f(x + T) .
Функцию, имеющую отличный от нуля период называют периодической .
Если функция y = f(x) , х ∊ Х имеет период Т, то любое число, кратное Т (т.е. число вида kT , k ∊ Z ), также является ее периодом.
График функции
Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости (х; у(х)) , абсциссы которых равны значениям независимой переменной из области определения этой функции, а ординаты – соответствующим значениям функции.
(ордината) y
y = f( x )
x (абсцисса)
Основные элементарные
функции, их свойства
и графики
0 ; б) убывает, если k . Не ограничена ни снизу, ни сверху. Нет ни наибольшего, ни наименьшего значений. Функция непрерывна на множестве (– ; + ) . " width="640"
Линейная функция y=kx+b
Свойства линейной функции y = kx + b :
- D(f) = (– ; + ) .
- E(f) = (– ; + ) .
- Если b = 0 , то функция нечетная .
- а) Нули функции: ( – b/k; 0) ;
б) точка пересечения с Оу: (0; b) .
- а) возрастает , если k 0 ;
б) убывает , если k .
- Не ограничена ни снизу, ни сверху.
- (– ; + ) .
0 y = kx + b , k Линейная функция y=kx+b y 0 x b b k " width="640"
y = kx + b , k0
y = kx + b , k
Линейная функция y=kx+b
0 , то (– ; 0) и (0; + ) – промежутки убывания функции. Не ограничена ни снизу, ни сверху. Нет ни наибольшего, ни наименьшего значений. Функция непрерывна на каждом из промежутков (– ; 0) и (0; + ) . " width="640"
k
у =
Обратная пропорциональность
x
Свойства функции y = k/x :
- D(f) = (– ; 0) (0; + ) .
- E(f) = (– ; 0) (0; + ) .
- Функция нечетная.
- а) Нули функции: нет ;
б) точка пересечения с Оу: нет .
- а) если k , то (– ; 0) и (0; + ) – промежутки возрастания функции ;
б) если k 0 , то (– ; 0) и (0; + ) – промежутки убывания функции.
- Не ограничена ни снизу, ни сверху.
- Нет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
- Функция непрерывна на каждом из промежутков
(– ; 0) и (0; + ) .
0 x x x 0 " width="640"
у =
Обратная пропорциональность
у = , k 0
у = , k 0
0: D(f) = (– ; + ) . E(f) = – промежуток убывания функции. Ограничена снизу, не ограничена сверху. а) у наим. = 0; б) у наиб. – не существует. Непрерывна на множестве (– ; + ) . Выпукла вниз. " width="640"
Квадратичная функция y= k x 2
Свойства функции y = kx 2 при k 0 :
- D(f) = (– ; + ) .
- E(f) =
– промежуток
убывания
функции.
- Ограничена снизу, не ограничена сверху.
- а) у наим. = 0;
б) у наиб. – не существует.
- Непрерывна на множестве (– ; + ) .
- Выпукла вниз.
Квадратичная функция y= k x 2
Свойства функции y = kx 2 при k :
- D(f) = (– ; + ) .
- E(f) = (– ; 0] .
- Функция четная .
- а) Нули функции: (0; 0) ;
б) точка пересечения с Оу: (0; 0) .
- а)
– промежуток
возрастания
функции.
- Ограничена сверху, не ограничена снизу.
- а) у наиб. = 0;
б) у наим. – не существует.
- Непрерывна на множестве (– ; + ) .
- Выпукла вверх.
0 x 0 y = kx 2 , k " width="640"
Квадратичная функция y= k x 2
y = kx 2 , k0
y = kx 2 , k
Степенная функция y= x
Свойства функции y = x :
- D(f) =
. 3 о Если b = 0 , то функция четная. Если b ≠ 0 , то функция ни четная, ни нечетная. 4 о Если х = 0 , то у = c , если у = 0 , то х 1,2 = 5 о Если a 0 , то функция возрастает при х . Если a , то функция возрастает при х(− ∞; х в ] ; функция убывает при х
.
3 о Если b = 0 , то функция четная .
Если b ≠ 0 , то функция ни четная, ни нечетная .
4 о Если х = 0 , то у = c , если у = 0 , то х 1,2 =
5 о Если a 0 , то функция возрастает при х .
Если a , то функция возрастает при х(− ∞; х в ] ;
функция убывает при х .
при х(− ∞; +∞) .
0 , то функция убывает при х(− ∞; 0) u (0; +∞). Если k , то функция возрастает при х(− ∞; 0) u (0; +∞) . " width="640"
k
Свойства обратной пропорциональности
у =
x
1 о D(y) = ( − ∞; 0) u (0; +∞)
2 о E(y) = ( − ∞; 0) u (0 ; +∞)
3 о Функция нечетная.
4 о х ≠ 0, у ≠ 0.
5 о Если k 0 , то функция убывает
при х(− ∞; 0) u (0; +∞).
Если k , то функция возрастает
при х(− ∞; 0) u (0; +∞) .
Свойства степенной функции
y = x - n
Если n = 2k , где k Z
1 о D(y)=( − ∞; 0) U (0 ; +∞).
2 о E(y)=( 0 ; +∞).
3 о Функция четная.
Если n = 2k +1 , где k Z
1 о D(y)=( − ∞; 0)U(0; +∞).
2 о E(y)=( − ∞; 0)U(0; +∞).
3 о Функция нечетная.
4 о Если х = 1 , то у = 1.
5 о Функция возрастает
4 о Если х = 1 , то у = 1 ;
при х(− ∞; 0);
убывает при х (0 ; +∞) .
если х = -1, то у = -1.
6 º функция ограничена
5 о Функция убывает
снизу прямой у = 0.
при х(− ∞; 0) ; (0; +∞) .
6 º Функция не
ограничена
0, a ≠ 1 1 о D(y)=(− ∞; +∞). 2 о E(y)= (0 ; +∞). 3 о Функция ни четная, ни нечетная. 4 о Если х = 0 , то у = 1 . 5 о Если а 1 , то функция возрастает при х(− ∞; +∞) . Если 0 а, то функция убывает при х(− ∞; +∞) . Подробнее " width="640"
Свойства показательной функции
y = a x , а 0, a ≠ 1
1 о D(y)=( − ∞; +∞).
2 о E(y)= (0 ; +∞).
3 о Функция ни четная, ни нечетная .
4 о Если х = 0 , то у = 1 .
5 о Если а 1 , то функция возрастает
при х(− ∞; +∞) .
Если 0 а , то функция убывает
при х(− ∞; +∞) .
Подробнее
0, a ≠ 1 1 о D(y)= (0 ; +∞). 2 о E(y)= (− ∞; +∞). 3 о Функция ни четная, ни нечетная. 4 о Если х = 1 , то у = 0 . 5 о Если а 1 , то функция возрастает при х(0 ; +∞) . Если 0 а, то функция убывает при х(0 ; +∞) . Подробнее " width="640"
Свойства логарифмической функции y = log a x , а 0, a ≠ 1
1 о D(y)= (0 ; +∞).
2 о E(y)= ( − ∞; +∞).
3 о Функция ни четная, ни нечетная .
4 о Если х = 1 , то у = 0 .
5 о Если а 1 , то функция возрастает
при х(0 ; +∞) .
Если 0 а , то функция убывает
при х(0 ; +∞) .
Подробнее
Свойства функции
y = sin x
1 о D(y)=( − ∞; +∞) .
2 о E(y)=[−1; 1] .
3 о Функция нечетная .
4 о Если х = 0 , то у = 0 .
5 о Функция возрастает при
Функция убывает при
6 о
π
π
х [ − +2 π n; +2 π n] .
2
2
π
3 π
х [ +2 π n; +2 π n] .
2
2
π
π
x max = +2 π n ;
x min = − +2 π n , где nZ.
2
2
Подробнее
Свойства функции
y = cos x
1 о D(y)=( − ∞; +∞).
2 о E(y)=[−1; 1].
3 о Функция четная .
4 о Если х = 0 , то у = 1 .
5 о Функция возрастает при х [− π +2 π n;2 π n] , nZ .
Функция убывает при х , где nZ .
6 o x max = 2 π n ; x min = π + 2 π n , где nZ .
Подробнее
Свойства функции
y = tg x
π
π
1 о D(y)= где nZ .
2 о E(y)=( − ∞; +∞).
3 о Функция нечетная .
4 о Если х = 0 , то у = 0 .
5 о Функция возрастает при х
где nZ .
6 o Экстремумов нет.
(− + π n; + π n ),
2
2
π
π
(− + π n; + π n ) ,
2
2
Подробнее
Свойства функции
y = ctg x
1 о D(y)= ( π n; π + π n), где nZ
2 о E(y)=( − ∞; +∞).
3 о Функция нечетная .
4 о х ≠ 0; у = 0 если х , где nZ .
5 о Функция убывает при х( π n; π + π n) , где nZ .
6 o Экстремумов нет.
π
= + π n
2
Подробнее
«Построить график функции» - Графики и функций y=m sinx+n и y=m cosx+n. Растяжение графика y=cosx по оси y. Чтобы вернуться К содержанию нажмите сюда. График функции y= m*cos x. Смещения графика y=cosx по вертикали. Содержание: Самостоятельная работа. Дана функция y=cosx+1. Смещение графика y=sinx по горизонтали. Дана функция y=sinx+1.
«Наибольшее и наименьшее значение функции» - Задача1 Задача 2,3. Задачи урока: Решение: Наименьшего не существует. Установим связь между условием и заключением. Ответ: Наибольшее 0, наименьшее значение -8/3. Константинова Татьяна Геннадьевна МОУ «Западнодвинская СОШ №1». Тема: Производная степенной функции. Найти наименьшее и наибольшее значение заданной функции на заданном промежутке:
«Координатная плоскость» - Координатная плоскость. Координатная прямая, координатный угол. Задача №1. План урока. Координаты точек, расположенных на осях. Как отмечаются числа на координатной прямой. (1 способ). Познакомить учащихся с историей возникновения отрицательных чисел. Как отмечаются точки на плоскости. (2 способ). Цели урока:
«Свойства функции» - 1.Определение функции. y=0, x=0 6.Промежутки знакопостоянства y > 0 на (0; +). 5.Ноль функции. Свойства функции. E(y)=
3. Функция возрастает на промежутке (- ∞;0 ] ; функция убывает на промежутке }
