Перечислим основные свойства функции у = ctg x. Повторение и обобщение "Тригонометрическая функция у=tgx, ее свойства и график" VI. Домашнее задание

Класс: 10

Цель урока:

Образовательные:
- отработать навыки построения графиков функций, используя периодичность тригонометрических функций;
- закрепить изученный материал о чётных и нечётных функциях
Развивающие:
- развивать умения, анализировать, применять имеющиеся знания у учащихся в изменённой ситуации.
Воспитательные:
- воспитывать у учащихся аккуратность, любознательность, бережное отношение к окружающему миру, нравственные качества;
- создать условия для развития познавательной активности учащихся, реализации личностных функций каждого учащегося, его свободного развития с учётом индивидуальных особенностей и потенциальных возможностей.

Оборудование:

мультимедийный проектор;
листы заданий для учащихся;
оценочные листы;
доска;
мел, чертёжные инструменты;
тетради;
заготовки системы координат

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

Учащиеся при входе в класс на урок выбирают жетоны, в которых записаны тригонометрические функции синус, косинус, тангенс. Затем рассаживаются за круглые столы по группам с жетонами одной функции.

Озвучиваются цели урока. В течении всего урока учащиеся самостоятельно оценивают свою подготовку к уроку. Для этого каждой группе раздаются оценочные листы, критерии оценки своей деятельности на каждом этапе урока отражаются на слайдах (Приложение 1 ).
Оценочные листы заполняются учащимися и в конце урока сдаются вместе с письменной работой на проверку.

Оценочный лист

№	Ф. И	Теоретическая разминка, «математическое лото»	Групповая работа	Тест	Оценка за урок
1
2
3
4
5

II. Фронтальный опрос «Теоретическая разминка»

Для того, чтобы выполнить практические задания урока, необходимо вспомнить теоретический материал. Для этого проведём «Теоретическую разминку" на слайде (Приложение 1 ) дана таблица с номерами вопросов, по очереди каждая группа выбирает номер вопроса, зачитывает вопрос и тут же даёт на него ответ.

На этом этапе происходит актуализация знаний учащихся, необходимых для дальнейшей работы на уроке.

Что называют функцией?
Что называют областью определения функции?
Что называют областью значений функции?
Какая функция называется чётной?
Какая функция называется нечётной?
Каким свойством обладает график четной функции?
Каким свойством обладает график нечётной функции?
Дайте определение основных тригонометрических функций.
Что можно сказать о чётности тригонометрических функций?
Какая функция называется периодической?
Какое число является наименьшим положительным периодом для функции синуса и косинуса?
Какое число является наименьшим положительным периодом для функции тангенса (котангенса)?
Какова область определения функции синуса?
Какова область определения функции косинуса?
Какова область определения функции тангенса?
Какова область определения функции котангенса?
Какова область значений функции синуса?
Какова область значений функции конуса?
Какова область значений функции тангенса?
Какова область значений функции котангенса?
Какая из функций принимает наибольшее значение у = sin 2x или y = 2 sin x&

– Мы повторили с вами теоретический материал. А теперь я предлагаю вам показать ваши знания в определении четной или нечетной функции, при выполнения «математического лото». Каждая группа получает лист – задание с «математическим лото». (Приложение 2 ).

Задание: в полученной таблице заштриховать те ячейки, в которых расположена чётная (нечётная) функция.

«Математическое лото»

Вариант 1.

Задание: Заштриховать в таблице те ячейки, в которых располагается чётная функция

Вариант 2.

Задание: Заштриховать в таблице те ячейки, в которых располагается нечётная функция

Критерии оценки при фронтальном опросе, участие в совместной работе класса:

2 балла, не активно принимал участие;
3 балла, отвечал на вопросы, вносил свои предложения при выполнении задания «математического лото»
4 балла, активно отвечал на вопросы, предлагал верные ответы при решении «математического лото»

III. Работа в группах по построению графиков тригонометрических функций

Работая в группе сообща над заданием, ученик соотносит своё «Я» с самим собой и окружающими, сравнивая разное или одинаковое видение задачи и процесса её решения, оценивая свои возможности и притязания. Ученикам приходится выступать в разных ролях и в роли «ученика» и в роли «учителя». Здесь формируется умение работать в группе, умение отстаивать свою точку зрения и принимать точку зрения товарищей.

Каждой группе предлагается самостоятельно в тетрадях построить графики тригонометрических функций, предварительно определив её область определения, область значения, период. Каждая группа получает также заготовки системы координат на листе формата А4 или А3 на которых им необходимо изобразить выполненное задание (можно при построение графиков использовать фломастеры разного цвета)

После выполнения своего задания каждая группа защищает свою работу перед классом. Работа каждого в группе оценивается всей группой, оценка заносится в оценочный лист.
Критерии оценки работы в группе:

3 балла, не активно принимал участие в работе;
4 балла, вносил свои предложения в решении поставленной задачи;
5 баллов, активно принимал участие в работе группы, предлагал верные пути решения задачи.

IV. Тестовая работа

Прежде, чем ученики приступят к выполнению теста, они должны выбрать уровень сложности соответствующий своим возможностям.
На этом этапе работы для учащихся создаётся ситуация, в которой им надо оценить свои реальные знания и возможности.

1) Если ученик считает, что он усвоил материал на «3», то ему достаточно выполнить 1 – 5 задания теста.
2) Если усвоил материал на «4» , то надо выполнить 6 – 7 задания теста.
3) Если материал усвоен на «5», то надо выполнить все задания теста.

Ключ к тесту:

№ задания	I вариант	II вариант
А1	В	В
А2	Б	Г
А3	В	Б
А4	Г	Г
А5	А	Г
А6	А	В
А7	Б	А
В1	– 7	– 6
В2	5	– 4

Тетради и оценочные листы сдаются учителю.

V. Итог урока

Оценки в журнал выставляются после проверки работ учителем, сравнивая с результатами оценочных листов учёта знаний.

VI. Домашнее задание

I группа: стр.93 № 18
II группа: стр.93 № 19
III группа: стр.93 № 20

Муниципальное казенное вечернее (сменное) общеобразовательное учреждение «Вечерняя (сменная) общеобразовательная школа №4 при исправительной колонии»

План-конспект и презентация к уроку

алгебры и начала анализа в 10 классе по теме

«Тригонометрические функции и их свойства»

Тема урока: «Тригонометрические функции и их свойства»

Образовательные: обобщить и систематизировать знания учащихся по изучаемой теме, провести контроль уровня усвоения материала;

Развивающие: развитие математического мышления, интеллектуальных и познавательных способностей, развитие умения обосновать свое решение, контролировать и оценивать результаты своих действий;

Воспитательные: воспитание культуры общения, познавательной активности, чувства ответственности за выполненную работу, дисциплинированности, аккуратности, самостоятельности.

Оборудование и материалы для урока: мультипроектор, презентация для сопровождения урока, листы самоконтроля, карточки с текстом самостоятельной работы.

Тип урока: урок-смотр знаний

Ход урока.

I . Организационный момент.

II . Сообщение темы и целей урока.

Сегодняшний урок мне хотелось бы начать со слов великого ученого-физиолога И.П Павлова:

«Изучите азы науки, прежде чем взойти на ее вершины. Никогда не беритесь за последующее, не усвоив предыдущее». Слайд 2

Мы живем в реальном мире и для его познания нам необходимы знания. Но прежде, чем подняться на следующую ступеньку, нужно убедиться, что мы крепко стоим на ногах, имеем хорошие, прочные знания по изучаемой теме.

Скажите, пожалуйста, какую тему мы изучаем?

А всякое знание должно перейти в умение и навык. Сегодня на уроке мы обобщим и систематизируем имеющиеся знания по этой теме. Проверим свои знания, умения и навыки, выясним пробелы и попытаемся их ликвидировать.

Актуализация опорных знаний.

1 . Фронтальный опрос.

Назовите тригонометрические функции, которые вы знаете?

А теперь повторим свойства известных нам тригонометрических функций.

(Учащиеся называют свойства тригонометрических функций, каждый правильный ответ высвечивается на слайде. В результате обсуждения появляется таблица.) Слайд 3-6

2. Устная работа по решению простейших задач на преобразование графиков тригонометрических функций. Слайд 7-9

Работа с листами самоконтроля. (Приложение 1)

На уроке вы будете выполнять различные задания, и постепенно будете заполнять лист самоконтроля учащегося. Подпишите лист самоконтроля и познакомьтесь с его содержанием. Оцените насколько вы готовы к выполнению заданий и поставьте прогностическую оценку. И пока лист отложите.

Графический диктант.

Результатом выполнения диктанта на листках самоконтроля обучающихся станет такая запись.

где знаками обозначено: + да, нет. После окончания диктанта обучающие обмениваются диктантом с соседом по парте для проверки. Каждый верный ответ оценивается в 1 балл, за неверный ответ и отсутствие ответа выставляется 0 баллов. Слайд 10

Самостоятельная работа по вариантам. (Приложение 2)

I вариант.

нет точек пересечения

II вариант.

Укажите множество значений функции:

4) нет точек пересечения

Найдите наименьший положительный период функции

Самопроверка. Слайд 11

Каждый верный ответ оценивается в 1 балл, за неверный ответ и отсутствие ответа выставляется 0 баллов.

Работа в группах. Слайд 12

Выполнение заданий повышенной сложности.

Напоминаю порядок работы в группах: 10 минут самостоятельно решаете задание, 5 минут обсуждаете решение заданий коллективно. Не забудьте поставить самооценку и определить свой уровень знаний. За безошибочное выполнение задания выставляется 2 балла, решение с недочетами оценивается в 1 балл.

I группа

Постройте график функции

II группа

Постройте график функции

2) Найдите наименьший положительный период функции:

Кто желает объяснить свое решение? Слайд 13-15

Итог урока.

Подведем итог нашей работы. Подсчитайте баллы и согласно критериям поставьте итоговую оценку. Если вы довольны своими результатами, то под своей оценкой поставьте подпись. Проанализируйте свой уровень знаний. Если не все получилось, подумайте, над чем еще нужно поработать.

Задание на дом еще раз проанализировать что удалось, что не удалось, над чем надо еще поработать. К заданиям, в которых вы допустили ошибки, подберите аналогичные задания и решите их. Результаты вашей работы на уроке мне покажут ваши листы самоконтроля. Спасибо за урок!

Приложение 1

Лист самоконтроля учащегося ________________________________________

(фамилия, имя)

К уроку алгебры и начал анализа по теме «Тригонометрические функции и их свойства»

Прогностическая оценка ________

№1. Графический диктант.

№2. Самостоятельная работа.

№3. Работа в группах. Задания повышенной сложности.

Если вы набрали 21-23 балла – оценка «5»

16-20 баллов – оценка «4» Я набрал ________баллов

10-15баллов – оценка «3» Моя оценка «____»___________________

(подпись учащегося)

Ответьте на вопросы и поставьте оценку по 5-ти бальной системе

Как, на ваш взгляд, прошел урок, все ли вам было понятно? _______________

Вы себя уверенно чувствовали на уроке? ___________________

Достаточно ли было вам знаний, полученных ранее ? ____________

Приложение 2

Самостоятельная работа.

I вариант.

1.Укажите множество значений функции: у= 4х.

1)Множество действительных чисел;

2)Множество действительных чисел, кроме чисел вида ;

3)Множество действительных чисел, кроме чисел вида

Определите знак числа sin 1 cos 9 tg (-2)

3)невозможно определить

;

нет точек пересечения.

II вариант.

Множество действительных чисел;

2) Множество действительных чисел, кроме чисел вида

3) Множество действительных чисел, кроме чисел вида

3)невозможно определить

4) нет точек пересечения

Найдите наименьший положительный период функции

Просмотр содержимого презентации
«тригонометрические функции»

«Тригонометрические Функции и их свойства»

Пугачева А.В., учитель математики МКОУ «В(С)ОШ №4 при ИК»

г. Мариинска, Кемеровской области

«Изучите азы науки, прежде чем взойти на ее вершины. Никогда не бе- ритесь за последующее, не усвоив предыдущее» .

И.П Павлов

y x

График функции

Свойства функции

Область определения

Точки пересечения графика с осями

координат

Четность / нечетность

Промежутки

возрастания

монотонности

нечетная

монотонности

нечетная

убывания

Экстремумы

Периодичность

Промежутки знакопостоянства

Множество значений

y x

График функции

Свойства функции

Область определения

Точки пересечения графика с осями

координат

Четность / нечетность

Промежутки монотонности

возрастания

убывания

Экстремумы

Периодичность

Промежутки знакопостоянства

Множество значений

График функции

ytg x

Свойства функции

Область определения

Точки пересечения графика с осями

координат

Четность / нечетность

Промежутки

возрастания

нечетная

монотонности

нечетная

возрастания

монотонности

убывания

Экстремумы

Периодичность

Промежутки знакопостоян-cтва

Множество значений

Свойства функции

Область определения

Точки пересечения графика с осями

координат

Четность / нечетность

Промежутки

монотонности

возрастания

монотонности

возрастания

нечетная

Экстремумы

убывания

Экстремумы

Периодичность

Промежутки знакопостоян-cтва

Множество значений

График функции

ytg x

1. График какой функции изображен на рисунке?

-1

1) ycos x

2) y2 cos x

3) y2cos x

4) y2 sin x

2. График какой функции изображен на рисунке?

1) y x

2) y 2x

4) ycos x

3) y 2x

3. График какой функции изображен на рисунке?

1) y2cos x

2) ycos(x+

3) ycos x+ 1

4) ycos(x+

Проверка графического диктанта:

Самостоятельная работа.

Проверим:

I вариант.

II вариант.

I группа

1) Постройте график функции:

а) у=

б) у= 3

период функции:

у(х)=

II группа

1) Постройте график функции

а) у=

б) у= 2

2) Найдите наименьший положительный

период функции:

у(х)=cos5х

Проверим:

I группа

у=

у= 3

Проверим:

II группа

у=

I группа

Используем формулу для синуса разности двух углов

и получим

у(х)==

Т=2

II группа

Используем формулу для косинуса разности двух углов

и получим

у(х)==

Наименьший положительный период функции равен

Т=2

Развитие познавательного интереса к обучению.
Применение математического моделирования как способа активизации аналитического мышления.
Формирование практических навыков построения графиков функций на основе изученного теоретического материала.

Использовать имеющийся потенциал знаний о свойствах функций в конкретных ситуациях.
Уметь отстаивать свою точку зрения.
Применять осознанное установление связей между аналитической и геометрической моделями тригонометрических функций.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. «Вход в урок».

На доске написаны 3 утверждения:

1) Тригонометрические уравнения sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a всегда имеют решения.

2) График тригонометрической функции у = f(-x) можно получить из графика функции у = f(x) только с помощью преобразования симметрии относительно оси Оу.

3) График гармонического колебания можно построить, используя одну главную полуволну.

Учащиеся обсуждают в парах: верны ли утверждения? (1 минута). Затем результаты первоначального обсуждения (да, нет) вносятся в таблицу в столбец «До».

Учитель ставит цели и задачи урока.

3. Устные упражнения (фронтально).

1) Проверьте, принадлежат ли точки графикам функций:

у = sin x точка с координатами

у = cos x точка с координатами .

2) Найти наибольшее и наименьшее значения функций:

у = sin x на отрезке

у = cos x на полуинтервале

у = tg х на полуинтервале

3) Решите уравнения: cos x = 0, tg х = -1, sin x = 2.

4) Является ли число 15? периодом функций: у = sin x, у = cos x, у = tg х?

Назовите основной период этих функций.

5) Используя рисунки 14-17 на странице 38 задачника, составить аналитические модели функций по графикам.

4. Разминка (самостоятельно, с проверкой за доской).

№ 216(б). Решите графически уравнение sin x + cos x = 0.

5. Практическая работа № 1 (работа на заготовленных макетах в 4 группах, группы составлены по уровню подготовленности учащихся).

1 группа. № 210 (г). Сколько решений имеет система уравнений

2 группа. № 183 (б). Решите графически уравнение sin x = х 2 + 1.

3 группа. № 209 (в). Решите графически уравнение

4 группа . Сколько решений имеет уравнение sin 2x = tg х на отрезке

(Проверка и обсуждение по макетам).

Практическая работа № 2 (самостоятельная работа на листочках, 4 варианта, задания составлены по уровню подготовленности учащихся).

Построить график функции:

7. Обобщение и подведение итогов.

№ 194 (б,в). Постройте и прочитайте график функции у = f(x), где

8. Итог урока. Возвращаемся к утверждениям (начало урока), обсуждаем, используя свойства тригонометрических функций, и заполняем в таблице столбец «После».

Тема урока: тригонометрические функции, их свойства и графики.

Тип урока: изучения и первичного закрепления новых знаний.

Форма обучения: классно-урочная.

Форма деятельности: фронтальная и индивидуальная.

Цель урока: знакомство с тригонометрическими функциями; формирование знаний и умений в построение графиков тригонометрических функций.

Задачи урока:

1. Образовательные:

Дать определения тригонометрическим функциям;

Рассмотреть основные свойства тригонометрических функций;

Показать графики тригонометрических функций.

2. Развивающие:

Способствовать развитию умений анализировать, устанавливать связи, причины и следствия;

Предвидеть возможные ошибки и способы их устранения;

Способствовать повышению концентрации внимания, развитию памяти и речи.

3. Воспитательные:

Способствовать развитию интереса к предмету «Математика»;

Способствовать развитию самостоятельности мышления;

В целях решения задач эстетического воспитания содействовать в ходе урока опрятному и грамотному построению графиков функций.

Методы обучения: словесные методы (рассказ, объяснение); наглядные методы (демонстрация, ТСО); практические методы.

Оборудование: компьютер, проектор, раздаточный материал.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Разработка урока по модульной технологии содержит конспект первого урока по теме: "Показательная функция"...

Бинарный урок был проведен в муниципальном казенном общеобразовательном учреждении "общеобразовательная школа №30" г. Белгорода. В данном образовательном учреждении обучаются дети с ограниченными возм...

Уроки 25-26. Функции у = tg x, у = ctg x, их свойства и графики

09.07.2015 7626 0

Цель: рассмотреть графики и свойства функций у = tg х, у = ctg х.

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).

Вариант I

2. Постройте график функции:

Вариант 2

1. Как построить график функции:

2. Постройте график функции:

III. Изучение нового материала

Рассмотрим две оставшиеся тригонометрические функции - тангенс и котангенс.

1. Функция у = tg x

Остановимся на графиках функций тангенса и котангенса. Сначала обсудим построение графика функции у = tg х на промежутке Такое построение аналогично построению графика функции у = sin х, описанному ранее. При этом значение функции тангенса в точке находится с помощью линии тангенсов (см. рисунок).

Учитывая периодичность функции тангенса, получаем ее график на всей области определения параллельными переносами вдоль оси абсцисс (вправо и влево) уже построенного графика на π, 2π и т. д. График функции тангенса называют тангенсоидой.

Приведем основные свойства функции у = tg х:

1. Область определения - множество всех действительных чисел, за исключением чисел вида

y (x

3. Функция возрастает на промежутках вида где к ∈ Z .

4. Функция не ограничена.

6. Функция непрерывная.

8. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом Т = π, т. е. у(х + п k ) = у(х).

9. График функции имеет вертикальные асимптоты

Пример 1

Установим четность или нечетность функции:

Легко проверить, что для функций а, б область определения - симметричное множество. Исследуем эти функции на четность или нечетность. Для этого найдем у(-х) и сравним значения у(х) и y (- x ).

а) Получим: Так как выполнено равенство y (- x ) = у(х), то функция у(х) по определению четная.

б) Имеем:

Так как выполнено равенство y (- x ) = -у(х), то функция у(х) по определению нечетная.

в) Область определения данной функции - несимметричное множество. Например, функция определена в точке х = π/4 и не определена в симметричной точке х = -π/4. Поэтому данная функция определенной четности не имеет.

Пример 2

Найдем основной период функции

Данная функция у(х) представляет собой алгебраическую сумму трех тригонометрических функций, периоды которых равны: T 1 = 2π, Запишем эти числа в виде дробей с одинаковыми знаменателями Наименьшее общее кратное коэффициентов НОК (6; 2; 3). Поэтому основной период данной функции

Пример 3

Построим график функции

Учтем правила преобразования графиков функции. В соответствии с ними график функции получается смещением графика функции у = tg х на π/4 единиц вправо вдоль оси абсцисс и его растяжением в 2 раза вдоль оси ординат.

Пример 4

Построим график функции

Используя определение и свойства модуля, в аргументе функции раскроем знаки модуля, рассмотрев три случая. Если х < 0, то имеем: При 0 ≤ x ≤ π /4 имеем: Для х > π /4 имеем: Далее остается построить три части данного графика. При х < 0 строим прямую у = -1. Для 0 ≤ x ≤ π /4 строим тангенсоиду Этот график получается смещением графика функции у = tg х на π/8 вправо вдоль оси абсцисс и сжатием в два раза вдоль этой оси. При х > π /4 строим прямую у = 1.

2. Функция у = ctg x

Аналогично графику функции у = tg х или с помощью формулы приведения строится график функции у = ctg x .

Перечислим основные свойства функции у = ctg x :

1. Область определения - множество всех действительных чисел, за исключением чисел вида х = п k , к ∈ Z .

2. Функция нечетная (т. е. у(-х) = - y (x )), и ее график симметричен относительно начала координат.

3. Функция убывает на промежутках вида (п k ; п + п k ), к ∈ Z .

4. Функция не ограничена.

5. Функция не имеет наименьшего и наибольшего значений.

6. Функция непрерывная.

7. Область значений Е(у) = (-∞; +∞).

8. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом Т = п, т. е. у(х + п k ) = у(x ).

9. График функции имеет вертикальные асимптоты х = п k .

Пример 5

Найдем область определения и область значений функции

Очевидно, что область определения функции y (x ) совпадает с областью определения функции z = ctg х, т. е. область определения - множество всех действительных чисел, кроме чисел вида х = nk , k ∈ Z .

Функция y (х) сложная. Поэтому запишем ее в виде Координаты вершины параболы y (z ): zB = 1 и y в = 2 - 4 + 5 = 3. Тогда область значений данной функции Е(у) = }