Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции-это математические функции, являющиеся обратными тригонометрическим функциям.

Функция y=arcsin(x)

Арксинусом числа α называют такое число α из промежутка [-π/2;π/2], синус которого равен α.
График функции
Функция у= sin⁡(x) на отрезке [-π/2;π/2], строго возрастает и непрерывна; следовательно, она имеет обратную функцию, строго возрастающую и непрерывную.
Функция, обратная для функции у= sin⁡(x), где х ∈[-π/2;π/2], называется арксинусом и обозначается y=arcsin(x),где х∈[-1;1].
Итак, согласно определению обратной функции, областью определения арксинуса является отрезок [-1;1], а множеством значений - отрезок [-π/2;π/2].
Отметим, что график функцииy=arcsin(x),где х ∈[-1;1].симметричен графику функции у= sin(⁡x), где х∈[-π/2;π/2],относительно биссектрисы координатных углов первой и третьей четвертей.

Область значения функции y=arcsin(x).

Пример№1.

Найти arcsin(1/2)?

Так как область значений функцииarcsin(x)принадлежит промежутку [-π/2;π/2], то подходит только значениеπ/6 .Следовательноarcsin(1/2) =π/6.
Ответ:π/6

Пример №2.
Найти arcsin(-(√3)/2)?

Так как область значений arcsin(x) х ∈[-π/2;π/2], то подходит только значение -π/3.Следовательноarcsin(-(√3)/2) =- π/3.

Функция y=arccos(x)

Арккосинусом числа α называют такое число α из промежутка , косинус которого равен α.

График функции

Функция у= cos(⁡x) на отрезке , строго убывает и непрерывна; следовательно, она имеет обратную функцию, строго убывающую и непрерывную.
Функция, обратная для функции у= cos⁡x, где х ∈, называется арккосинусом и обозначается y=arccos(x),где х ∈[-1;1].
Итак, согласно определению обратной функции, областью определения арккосинуса является отрезок [-1;1], а множеством значений - отрезок .
Отметим, что график функцииy=arccos(x),где х ∈[-1;1] симметричен графику функции у= cos(⁡x), где х ∈,относительно биссектрисы координатных углов первой и третьей четвертей.

Область значения функции y=arccos(x).

Пример №3.

Найти arccos(1/2)?

Так как область значений arccos(x) х∈, то подходит только значение π/3.Следовательно arccos(1/2) =π/3.
Пример №4.
Найти arccos(-(√2)/2)?

Так как область значений функции arccos(x) принадлежит промежутку , то подходит только значение 3π/4.Следовательноarccos(-(√2)/2) =3π/4.

Ответ: 3π/4

Функция y=arctg(x)

Арктангенсом числа α называют такое число α из промежутка [-π/2;π/2], тангенс которого равен α.

График функции

Функция тангенс непрерывная и строго возрастающая на интервале(-π/2;π/2); следовательно, она имеет обратную функцию, которая непрерывна и строго возрастает.
Функция, обратная для функции у= tg⁡(x), где х∈(-π/2;π/2); называется арктангенсом и обозначается y=arctg(x),где х∈R.
Итак, согласно определению обратной функции, областью определения арктангенса является интервал(-∞;+∞), а множеством значений - интервал
(-π/2;π/2).
Отметим, что график функции y=arctg(x),где х∈R, симметричен графику функции у= tg⁡x, где х ∈ (-π/2;π/2), относительно биссектрисы координатных углов первой и третьей четвертей.

Область значения функции y=arctg(x).

Пример№5?

Найти arctg((√3)/3).

Так как область значений arctg(x) х ∈(-π/2;π/2), то подходит только значение π/6 .Следовательноarctg((√3)/3) =π/6.
Пример№6.
Найти arctg(-1)?

Так как область значений arctg(x) х ∈(-π/2;π/2), то подходит только значение -π/4 .Следовательноarctg(-1) = - π/4.

Функция y=arcctg(x)

Арккотангенсом числа α называют такое число α из промежутка (0;π), котангенс которого равен α.

График функции

На интервале (0;π),функция котангенс строго убывает; кроме того,она непрерывна в каждой точке этого интервала; следовательно, на интервале (0;π), эта функция имеет обратную функцию, которая является строго убывающей и непрерывной.
Функция, обратная для функции у=ctg(x), где х ∈(0;π), называется арккотангенсом и обозначается y=arcctg(x),где х∈R.
Итак, согласно определению обратной функции, областью определения арккотангенса будет R,а множеством значений –интервал (0;π).График функции y=arcctg(x),где х∈R симметричен графику функции y=ctg(x) х∈(0;π),относительно биссектрисы координатных углов первой и третьей четвертей.

Область значения функции y=arcctg(x).

Пример№7.
Найти arcctg((√3)/3)?

Так как область значений arcctg(x) х ∈(0;π), то подходит только значение π/3.Следовательно arccos((√3)/3) =π/3.

Пример№8.
Найти arcctg(-(√3)/3)?

Так как область значений arcctg(x) х∈(0;π), то подходит только значение 2π/3.Следовательноarccos(-(√3)/3) =2π/3.

Редакторы: Агеева Любовь Александровна, Гаврилина Анна Викторовна

Обратные тригонометрические функции - это арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс.

Сначала дадим определения.

Арксинусом Или, можно сказать, что это такой угол , принадлежащий отрезку , синус которого равен числу а.

Арккосинусом числа а называется число , такое, что

Арктангенсом числа а называется число , такое, что

Арккотангенсом числа а называется число , такое, что

Расскажем подробно об этих четырех новых для нас функциях - обратных тригонометрических.

Помните, мы уже встречались с .

Например, арифметический квадратный корень из числа а - такое неотрицательное число, квадрат которого равен а.

Логарифм числа b по основанию a - такое число с, что

При этом

Мы понимаем, для чего математикам пришлось «придумывать» новые функции. Например, решения уравнения - это и Мы не смогли бы записать их без специального символа арифметического квадратного корня.

Понятие логарифма оказалось необходимо, чтобы записать решения, например, такого уравнения: Решение этого уравнения - иррациональное число Это показатель степени, в которую надо возвести 2, чтобы получить 7.

Так же и с тригонометрическими уравнениями. Например, мы хотим решить уравнение

Ясно, что его решения соответствуют точкам на тригонометрическом круге, ордината которых равна И ясно, что это не табличное значение синуса. Как же записать решения?

Здесь не обойтись без новой функции, обозначающей угол, синус которого равен данному числу a. Да, все уже догадались. Это арксинус.

Угол, принадлежащий отрезку , синус которого равен - это арксинус одной четвертой. И значит, серия решений нашего уравнения, соответствующая правой точке на тригонометрическом круге, - это

А вторая серия решений нашего уравнения - это

Подробнее о решении тригонометрических уравнений - .

Осталось выяснить - зачем в определении арксинуса указывается, что это угол, принадлежащий отрезку ?

Дело в том, что углов, синус которых равен, например, , бесконечно много. Нам нужно выбрать какой-то один из них. Мы выбираем тот, который лежит на отрезке .

Взгляните на тригонометрический круг. Вы увидите, что на отрезке каждому углу соответствует определенное значение синуса, причем только одно. И наоборот, любому значению синуса из отрезка отвечает одно-единственное значение угла на отрезке . Это значит, что на отрезке можно задать функцию принимающую значения от до

Повторим определение еще раз:

Арксинусом числа a называется число , такое, что

Обозначение: Область определения арксинуса - отрезок Область значений - отрезок .

Можно запомнить фразу «арксинусы живут справа». Не забываем только, что не просто справа, но ещё и на отрезке .

Мы готовы построить график функции

Как обычно, отмечаем значения х по горизонтальной оси, а значения у - по вертикальной.

Поскольку , следовательно, х лежит в пределах от -1 до 1.

Значит, областью определения функции y = arcsin x является отрезок

Мы сказали, что у принадлежит отрезку . Это значит, что областью значений функции y = arcsin x является отрезок .

Заметим, что график функции y=arcsinx весь помещается в области, ограниченной линиями и

Как всегда при построении графика незнакомой функции, начнем с таблицы.

По определению, арксинус нуля - это такое число из отрезка , синус которого равен нулю. Что это за число? - Понятно, что это ноль.

Аналогично, арксинус единицы - это такое число из отрезка , синус которого равен единице. Очевидно, это

Продолжаем: - это такое число из отрезка , синус которого равен . Да, это

			0
			0

Строим график функции

Свойства функции

1. Область определения

2. Область значений

3. , то есть эта функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.

4. Функция монотонно возрастает. Ее наименьшее значение, равное - , достигается при , а наибольшее значение, равное , при

5. Что общего у графиков функций и ? Не кажется ли вам, что они «сделаны по одному шаблону» - так же, как правая ветвь функции и график функции , или как графики показательной и логарифмической функций?

Представьте себе, что мы из обычной синусоиды вырезали небольшой фрагмент от до , а затем развернули его вертикально - и мы получим график арксинуса.

То, что для функции на этом промежутке - значения аргумента, то для арксинуса будут значения функции. Так и должно быть! Ведь синус и арксинус - взаимно-обратные функции. Другие примеры пар взаимно обратных функций - это при и , а также показательная и логарифмическая функции.

Напомним, что графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой

Аналогично, определим функцию Только отрезок нам нужен такой, на котором каждому значению угла соответствует свое значение косинуса, а зная косинус, можно однозначно найти угол. Нам подойдет отрезок

Арккосинусом числа a называется число , такое, что

Легко запомнить: «арккосинусы живут сверху», и не просто сверху, а на отрезке

Обозначение: Область определения арккосинуса - отрезок Область значений - отрезок

Очевидно, отрезок выбран потому, что на нём каждое значение косинуса принимается только один раз. Иными словами, каждому значению косинуса, от -1 до 1, соответствует одно-единственное значение угла из промежутка

Арккосинус не является ни чётной, ни нечётной функцией. Зато мы можем использовать следующее очевидное соотношение:

Построим график функции

Нам нужен такой участок функции , на котором она монотонна, то есть принимает каждое свое значение ровно один раз.

Выберем отрезок . На этом отрезке функция монотонно убывает, то есть соответствие между множествами и взаимно однозначно. Каждому значению х соответствует свое значение у. На этом отрезке существует функция, обратная к косинусу, то есть функция у = arccosx.

Заполним таблицу, пользуясь определением арккосинуса.

Арккосинусом числа х, принадлежащего промежутку , будет такое число y, принадлежащее промежутку , что

Значит, , поскольку ;

Так как ;

Так как ,

Так как ,

			0
					0

Вот график арккосинуса:

Свойства функции

1. Область определения

2. Область значений

Эта функция общего вида - она не является ни четной, ни нечетной.

4. Функция является строго убывающей. Наибольшее значение, равное , функция у = arccosx принимает при , а наименьшее значение, равное нулю, принимает при

5. Функции и являются взаимно обратными.

Следующие - арктангенс и арккотангенс.

Арктангенсом числа a называется число , такое, что

Обозначение: . Область определения арктангенса - промежуток Область значений - интервал .

Почему в определении арктангенса исключены концы промежутка - точки ? Конечно, потому, что тангенс в этих точках не определён. Не существует числа a, равного тангенсу какого-либо из этих углов.

Построим график арктангенса. Согласно определению, арктангенсом числа х называется число у, принадлежащее интервалу , такое, что

Как строить график - уже понятно. Поскольку арктангенс - функция обратная тангенсу, мы поступаем следующим образом:

Выбираем такой участок графика функции , где соответствие между х и у взаимно однозначное. Это интервал Ц На этом участке функция принимает значения от до

Тогда у обратной функции, то есть у функции , область, определения будет вся числовая прямая, от до а областью значений - интервал

Значит,

Значит,

Значит,

А что же будет при бесконечно больших значениях х? Другими словами, как ведет себя эта функция, если х стремится к плюс бесконечности?

Мы можем задать себе вопрос: для какого числа из интервала значение тангенса стремится к бесконечности? - Очевидно, это

А значит, при бесконечно больших значениях х график арктангенса приближается к горизонтальной асимптоте

Аналогично, если х стремится к минус бесконечности, график арктангенса приближается к горизонтальной асимптоте

На рисунке - график функции

Свойства функции

1. Область определения

2. Область значений

3. Функция нечетная.

4. Функция является строго возрастающей.

6. Функции и являются взаимно обратными - конечно, когда функция рассматривается на промежутке

Аналогично, определим функцию арккотангенс и построим ее график.

Арккотангенсом числа a называется число , такое, что

График функции :

Свойства функции

1. Область определения

2. Область значений

3. Функция - общего вида, то есть ни четная, ни нечетная.

4. Функция является строго убывающей.

5. Прямые и - горизонтальные асимптоты данной функции.

6. Функции и являются взаимно обратными, если рассматривать на промежутке

В ряде задач математики и её приложений требуется по известному значению тригонометрической функции найти соответствующее значение угла, выраженное в градусной или в радианной мере. Известно, что одному и тому же значению синуса соответствует бесконечное множество углов, например, если $\sin α=1/2,$ то угол $α$ может быть равен и $30°$ и $150°,$ или в радианной мере $π/6$ и $5π/6,$ и любому из углов, который получается из этих прибавлением слагаемого вида $360°⋅k,$ или соответственно $2πk,$ где $k$ - любое целое число. Это становится ясным и из рассмотрения графика функции $y=\sin x$ на всей числовой прямой (см. рис. $1$): если на оси $Oy$ отложить отрезок длины $1/2$ и провести прямую, параллельную оси $Ox,$ то она пересечет синусоиду в бесконечном множестве точек. Чтобы избежать возможного разнообразия ответов, вводятся обратные тригонометрические функции, иначе называемые круговыми, или аркфункциями (от латинского слова arcus - «дуга»).

Основным четырем тригонометрическим функциям $\sin x,$ $\cos x,$ $\mathrm{tg}\,x$ и $\mathrm{ctg}\,x$ соответствуют четыре аркфункции $\arcsin x,$ $\arccos x,$ $\mathrm{arctg}\,x$ и $\mathrm{arcctg}\,x$ (читается: арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс). Рассмотрим функции \arcsin x и \mathrm{arctg}\,x, поскольку две другие выражаются через них по формулам:

$\arccos x = \frac{π}{2} − \arcsin x,$ $\mathrm{arcctg}\,x = \frac{π}{2} − \mathrm{arctg}\,x.$

Равенство $y = \arcsin x$ по определению означает такой угол $y,$ выраженный в радианной мере и заключенный в пределах от $−\frac{π}{2}$ до $\frac{π}{2},$ синус которого равен $x,$ т. е. $\sin y = x.$ Функция $\arcsin x$ является функцией, обратной функции $\sin x,$ рассматриваемой на отрезке $\left[−\frac{π}{2},+\frac{π}{2}\right],$ где эта функция монотонно возрастает и принимает все значения от $−1$ до $+1.$ Очевидно, что аргумент $y$ функции $\arcsin x$ может принимать значения лишь из отрезка $\left[−1,+1\right].$ Итак, функция $y=\arcsin x$ определена на отрезке $\left[−1,+1\right],$ является монотонно возрастающей, и её значения заполняют отрезок $\left[−\frac{π}{2},+\frac{π}{2}\right].$ График функции показан на рис. $2.$

При условии $−1 ≤ a ≤ 1$ все решения уравнения $\sin x = a$ представим в виде $x=(−1)^n \arcsin a + πn,$ $n=0,±1,± 2,… .$ Например, если

$\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ то $x = (−1)^n \frac{π}{4}+πn,$ $n = 0, ±1, ±2, … .$

Соотношение $y=\mathrm{arcctg}\,x$ определено при всех значениях $x$ и по определению означает, что угол $y,$ выраженный в радианной мере, заключей в пределах

$−\frac{π}{2}

и тангенс этого угла равен x, т. е. $\mathrm{tg}\,y = x.$ Функция $\mathrm{arctg}\,x$ определена на всей числовой прямой, является функцией, обратной функции $\mathrm{tg}\,x$, которая рассматривается лишь на интервале

$−\frac{π}{2}

Функция $у = \mathrm{arctg}\,x$ монотонно возрастающая, её график дан на рис. $3.$

Все решения уравнения $\mathrm{tg}\,x = a$ могут быть записаны в виде $x=\mathrm{arctg}\,a+πn,$ $n=0,±1,±2,… .$

Заметим, что обратные тригонометрические функции широко используются в математическом анализе. Например, одной из первых функций, для которых было получено представление бесконечным степенным рядом, была функция $\mathrm{arctg}\,x.$ Из этого ряда Г. Лейбниц при фиксированном значении аргумента $x=1$ получил знаменитое представление числа к бесконечным рядом

Функция, обратная косинусу

Областью значений функции y=cos x (см. рис. 2) является отрезок. На отрезке функция непрерывна и монотонно убывает.

Рис. 2

Значит, на отрезке определена функция, обратная функции y=cos x. Эту обратную функцию называют арккосинусом и обозначают y=arccos x .

Определение

Aрккосинусом числа а, если |а|1, называют угол, косинус которого принадлежит отрезку; его обозначают arccos а.

Таким образом, arccos а есть угол, удовлетворяющий следующим двум условиям: сos (arccos a)=a, |а|1; 0? arccos a ?р.

Например, arccos, так как cos и; arccos, так как cosи.

Функция y = arccos x (рис. 3) определена на отрезке, областью ее значений является отрезок. На отрезке функция y=arccos x непрерывна и монотонно убывает от р до 0 (поскольку y=cos х - непрерывная и монотонно убывающая функция на отрезке); на концах отрезка она достигает своих экстремальных значений: arccos(-1)= р, arccos 1= 0. Отметим, что arccos 0 = . График функции y = arccos x (см. рис. 3) симметричен графику функции y = cos x относительно прямой y=x .

Рис. 3

Покажем, что имеет место равенство arccos(-x) = р-arccos x.

В самом деле, по определению 0 ? arcсos х? р. Умножая на (-1) все части последнего двойного неравенства, получаем - р? arcсos х? 0. Прибавляя р ко всем частям последнего неравенства, находим, что 0? р-arccos х? р.

Таким образом, значения углов arccos(-х) и р - arccos х принадлежат одному и тому же отрезку. Поскольку на отрезке косинус монотонно убывает, то на нем не может быть двух различных углов, имеющих равные косинусы. Найдем косинусы углов arccos(-х) и р-arccos х. По определению cos (arccos x) = - x, по формулам приведения и по определению имеем: cos (р - - arccos х) = - cos (arccos х)= - х. Итак, косинусы углов равны, значит, равны и сами углы.

Функция, обратная синусу

Рассмотрим функцию y=sin х (рис. 6), которая на отрезке [-р/2;р/2] возрастающая, непрерывная и принимает значения из отрезка [-1; 1]. Значит, на отрезке [- р/2; р/2] определена функция, обратная функции y=sin x.

Рис. 6

Эту обратную функцию называют арксинусом и обозначают y=arcsin x. Введем определение арксинуса числа а .

Арксинусом числа а, если называют угол (или дугу), синус которого равен числу а и который принадлежит отрезку [-р/2; р/2]; его обозначают arcsin а.

Таким образом, arcsin а есть угол, удовлетворяющий следующим условиям: sin (arcsin a)=a, |a| ?1; -р/2 ? arcsin а? р/2. Например, так как sin и [- р/2; р/2]; arcsin , так как sin = и [- р/2; р/2].

Функция y=arcsin х (рис. 7) определена на отрезке [- 1; 1], областью ее значений является отрезок [-р/2;р/2]. На отрезке [- 1; 1] функция y=arcsin x непрерывна и монотонно возрастает от -р/2 до р/2 (это следует из того, что функция y=sin x на отрезке [-р/2; р/2] непрерывна и монотонно возрастает). Наибольшее значение она принимает при x =1: arcsin 1 = р/2, а наименьшее - при х = -1: arcsin (-1) = -р/2. При х = 0 функция равна нулю: arcsin 0 = 0 .

Покажем, что функция y = arcsin x является нечетной, т.е. arcsin (-х) = - arcsin х при любом х [- 1; 1].

Действительно, по определению, если |x| ?1, имеем: - р/2 ? arcsin x ? ? р/2. Таким образом, углы arcsin (-х) и - arcsin х принадлежат одному и тому же отрезку [- р/2; р/2].

Найдем синусы этих углов: sin (arcsin(-х)) = - х (по определению); поскольку функция y=sin x нечетная, то sin (-arcsin х)= - sin (arcsin x)= - х. Итак, синусы углов, принадлежащих одному и тому же промежутку [-р/2; р/2], равны, значит, равны и сами углы, т.е. arcsin (-х)= - arcsin х. Значит, функция y=arcsin x - нечетная. График функции y=arcsin x симметричен относительно начала координат.

Покажем, что arcsin (sin x) = х для любого х [-р/2; р/2].

Действительно, по определению -р/2 ? arcsin (sin x) ? р/2, а по условию -р/2 ? x ? р/2. Значит, углы х и arcsin (sin x) принадлежат одному и тому же промежутку монотонности функции y=sin x. Если синусы таких углов равны, то равны и сами углы. Найдем синусы этих углов: для угла х имеем sin x, для угла arcsin (sin x) имеем sin (arcsin(sin x)) = sin x. Получили, что синусы углов равны, следовательно, и углы равны, т.е. arcsin (sin x) = х. .

Рис. 7

Рис. 8

График функции arcsin (sin|x|) получается обычными преобразованиями, связанными с модулем, из графика y=arcsin (sin x) (изображен штриховой линией на рис. 8). Искомый график y=arcsin (sin |x-/4|) получается из него сдвигом на /4 вправо вдоль оси абсцисс (изображен сплошной линией на рис. 8)

Функция, обратная тангенсу

Функция y=tg x на промежутке принимает все числовые значения: E (tg x)=. На этом промежутке она непрерывна и монотонно возрастает. Значит, на промежуткеопределена функция, обратная функции y = tg x. Эту обратную функцию называют арктангенсом и обозначают y = arctg x .

Арктангенсом числа а называют угол из промежутка, тангенс которого равен а. Таким образом, arctg a есть угол, удовлетворяющий следующим условиям: tg (arctg a) = a и 0 ? arctg a ? р.

Итак, любому числу х всегда соответствует единственное значение функции y = arctg x (рис. 9) .

Очевидно, что D (arctg x) = , E (arctg x) = .

Функция y = arctg x является возрастающей, поскольку функция y = tg x возрастает на промежутке. Нетрудно доказать, что arctg(-x) = - arctgx, т.е. что арктангенс - нечетная функция.

Рис. 9

График функции y = arctg x симметричен графику функции y = tg x относительно прямой y = x, график y = arctg x проходит через начало координат (ибо arctg 0 = 0) и симметричен относительно начала координат (как график нечетной функции).

Можно доказать, что arctg (tg x) = x, если x.

Функция, обратная котангенсу

Функция y = ctg x на промежутке принимает все числовые значения из промежутка. Область ее значений совпадает с множеством всех действительных чисел. В промежутке функция y = ctg x непрерывна и монотонно возрастает. Значит, на этом промежутке определена функция, обратная функции y = ctg x. Функцию, обратную котангенсу, называют арккотангенсом и обозначают y = arcctg x .

Арккотангенсом числа а называют угол, принадлежащий промежутку, котангенс которого равен а.

Таким образом, аrcctg a есть угол, удовлетворяющий следующим условиям: ctg (arcctg a)=a и 0 ? arcctg a ? р.

Из определения обратной функции и определения арктангенса следует, что D (arcctg x) = , E (arcctg x) = . Арккотангенс является убывающей функцией, поскольку функция y = ctg x убывает в промежутке.

График функции y = arcctg x не пересекает ось Ох, так как y > 0 R. При х = 0 y = arcctg 0 =.

График функции y = arcctg x изображен на рисунке 11.

Рис. 11

Отметим, что для всех действительных значений х верно тождество: arcctg(-x) = р-arcctg x.

В этой статье мы разберем такие важные понятия в тригонометрии, как арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Мы можем найти значения чисел (углов), если знаем данные тригонометрических функций; это и есть та самая задача, что приводит нас к обратным функциям.

Ниже мы не только дадим определения основных понятий и общепринятые обозначения, но и приведем расчеты, из которых будет ясно, что они из себя представляют. В конце мы попробуем связать понятия арккотангенса, арктангенса, арккосинуса и арксинуса с понятием единичной окружности.

Основные определения

Все перечисленные выше понятия - арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс – можно рассматривать как в качестве числа, так и в качестве угла. Ранее мы уже говорили о такой же двойственности восприятия прямых функций (синус, косинус и др.) Рассмотрим оба подхода отдельно.

Арксинус и другие обратные функции как угол

Допустим, у нас есть некий угол, синус которого равен 1 2 . Обозначим его буквой альфа.

Итак, sin α = 1 2 . Такое значение синуса может быть у бесконечного числа углов: α = (− 1) k · 30 ° + 180 ° · k (α = (− 1) k · π / 6 + π · k) , где k ∈ Z . Поэтому нам потребуется ввести дополнительные условия. Пусть угол альфа будет не менее - 90 и не более 90 градусов (т.е. (в радианах он будет принадлежать отрезку [ − π 2 , π 2 ]),). В таком случае наше равенство sin α = 1 2 позволит обозначить угол альфа более ясно: в таких условиях им будет только один угол – в 30 градусов (π 6 радианов).

Исходя из указанного равенства, мы можем сделать вывод, что угол альфа определяется при условии любого числа a ∈ [ − 1 , 1 ] и условии − 90 ° ≤ α ≤ 90 ° . Этот угол - и есть арксинус числа a .

Сформулируем основные определения.

Определение 1

• Арксинус - это функция, обратная sin . Для некоторого числа а она представляет собой угол от - 90 до 90 градусов, sin которого равен a .
• Арккосинус - функция, обратная косинусу. Для числа a - это такой угол, cos которого равен a , и который при этом находится в диапазоне от 0 до 180 градусов.
• Арктангенс -тригонометрическая функция, обратная тангенсу. Для некоторого числа a u 1 это угол, величина которого находится в диапазоне от - 90 до 90 градусов, тангенс которого равен a .
• Арккотангенс числа а есть также угол величиной от 0 до 190 градусов, котангенс которого равен a .

Подытожим: так, запись a r c sin 0 , 3 означает всего лишь угол, синус которого равняется 0 , 3 ; a r c cos 0 , 7 - угол с косинусом 0 , 7 и так далее.

Подписи вида a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g являются общепринятыми для записи обратных тригонометрических функций. Иногда в справочниках, особенно тех, что составлены на английском языке, можно встретить немного другие обозначения для арккотангенса и арктангенса - a r c tan и a r c c o t . Они значат то же самое, но у нас не распространены, поэтому пользоваться ими мы не будем.

Вышеуказанные определения можно сформулировать в более краткой и символической форме:

Определение 2

• arcsin числа а в диапазоне от минус единицы до единицы есть угол с sin α = a величиной − 90 ° ≤ α ≤ 90 ° (− π 2 ≤ α ≤ π 2)
• arccos числа а в диапазоне от минус единицы до единицы есть угол с cos = a величиной 0 ° ≤ α ≤ 180 ° (0 ≤ α ≤ π)
• arctg любого числа а есть угол с t g α = a величиной − 90 ° < α < 90 ° (− π 2 < α < π 2)
• arctg любого числа а есть угол с c t g α = a величиной что 0 ° < α < 180 ° (0 < α < π)

Обратите внимание, что в определениях arcsin и arccos стоит диапазон от минус единицы до плюс единицы, а для двух других функций а может быть любым числом. Получается, что арксинус 3 - ошибочная запись, ведь тройка не принадлежит у указанному диапазону. Также бессмысленны записи a r c sin 5 , a r c cos - 7 , a r c sin - 3 , 7 2 3 и с любыми другими значениями, которые выходят за пределы нужного нам отрезка, ведь синус и косинус не бывают больше единицы и меньше минус единицы. В случае с арктангенсом и арккотангенсом такой проблемы нет, для них подойдет любое действительное число, в том числе ноль, пи и так далее.

Пример 1

Теперь разберем примеры обратных функций числа. Для начала возьмем арксинус. Из его базового определения следует, что угол π 3 - арксинус числа 3 2 , таким образом, (в данном случае α = 3 2 и α = π 3).

3 2 - число, которое меньше единицы и больше минус единицы, а угол π 3 находится в пределах от - π 2 до π 2 и sin π 3 = 3 2 .

Пример 2

Другими примерами a r c sin являются записи вида a r c sin (− 1) = − 90 ° , a r c sin (0 , 5) = π 6 , a r c sin (- 2 2) = - π 4 . При этом π 10 не может быть a r c sin 1 2 , потому что sin (π 10) ≠ 1 2 .

Пример 3

Возьмем следующий пример: sin 270 градусов - минус единица, но при этом обратное неверно: угол 270 - не арксинус - 1 , потому что a r c sin должен быть не более 90 градусов. Угол в 270 градусов не является арксинусом ни одного числа, потому что лежит за пределами нужного диапазона.

Пример 4

Найдем примеры других обратных функций. Так, угол 0 радианов есть арккосинус 1 , т.е, a r c cos 1 = 0 .Здесь все условия арккосинуса выполняются, число принадлежит нужному отрезку, угол заданной величины находится в пределах от нуля до пи и cos 0 = 1 . Угол π 2 - арккосинус нуля: a r c cos 0 = π 2 .

Пример 5

Согласно определению арктангенса, значения a r c t g (− 1) = − π 4 или a r c t g (− 1) = − 45 ° . Арктангенс корня из трех равен 60 градусам (π 3 рад) . Из этого можно сделать вывод, что a r c c t g 0 = π 2 , так как угол π 2 лежит в рамках от 0 до π и c t g (π 2) = 0 .

Если вы хотите более подробно изучить такой подход к определению обратных тригонометрических функций, рекомендуем вам учебник Кочеткова (ч.1, стр. 260-278)

Арксинус и другие обратные функции как число

В том случае, если в задаче речь идет, скажем, о синусе угла, то логично его арксинус также воспринимать как угол. Если нам нужно, например, вычислить косинус некоторого числа, то тут важно встать на другую точку зрения и рассмотреть обратные функции как числа. Исходя из второго подхода, можно немного переформулировать определения:

Определение 3

• Арксинус а есть некоторое число, t ∈ [ − π 2 , π 2 ] , синус которого равен a .
• Арккосинус числа a ∈ [ − 1 , 1 ] есть некоторое число t ∈ [ 0 , π ] , косинус которого равен a .
• Арктангенс числа a ∈ (− ∞ , + ∞) - это такое число t ∈ (− π 2 , π 2) , тангенс которого равен a .
• Арккотангенс числа a ∈ (− ∞ , + ∞) есть такое число t ∈ (0 , π) , котангенс которого равен a .

Такие формулировки типичны для большинства современных учебников по математике.

Пример 6

Какой же подход следует выбирать? Как понять, когда лучше рассматривать значения арксинуса и прочих функций как углы, а когда - как числа? Это можно понять из контекста задачи. Обычно если там упоминается, скажем, a r c sin a - 11 ° , то это угол. Если мы видим запись вида π − a r c t g a , то, скорее всего, это просто число или же угол, измеренный в радианах. Если же встречаются просто формулировки вида a r c sin , a r c c t g и др. без указаний чисел и значений, то мы вольны выбирать любой подход, который хотим.

Более наглядно представить обратные функции числа можно геометрически: ведь если это углы, их можно изобразить на чертеже. Это просто сделать, если вы еще не забыли базовые определения основных прямых функций.

Для этого нам понадобится уже знакомая нам единичная окружность. Ее дуги, связывающие между собой основные углы, и будут соответствовать величинам обратных функций.

Например, возьмем дугу, которая проиллюстрирует нам арксинус некого числа a . Проведем линию синусов и укажем на ней точку в соответствии с величиной a . Из этой точки теперь нужно попасть к оси абсцисс (возьмем положительное направление). У нас получился луч, который пересечет окружность в особой точке. Арксинус числа a - это и есть часть дуги окружности от этой точки до начала координат. Вспомним два подхода к рассмотрению функций: как угол и как число. Угол, соответствующий дуге, - это иллюстрация арксинуса в рамках первого подхода, а длина дуги, выраженная количественно, иллюстрирует арксинус в рамках второго.

Теперь нарисуем дуги, которые проиллюстрируют для нас остальные обратные функции. На втором графике они отмечены синими линиями. Взгляните, как можно графически отобразить понятия a r c sin , a r c cos , a r c t g , a r c c t g для произвольного числа a (в указанных выше диапазонах):

Вывод: что такое аркфункции

В итоге мы можем сформулировать следующее: для любого числа a a ∈ [ − 1 , 1 ] можно вычислить углы - арксинус и арккосинус, а для каждого действительного числа - углы арктангенс и арккотангенс. Эта точка зрения позволяет сопоставить между собой числовое значение аргумента и конкретный угол, который является значением функции.

Мы можем смотреть на понятия a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g как на числа и как на углы. Если мы берем их в качестве чисел, то они являются числовыми функциями: каждому значению а соответствует число.

Подытожим: все эти четыре понятия - и есть обратные тригонометрические функции. Название понятно: арксинус противопоставлен синусу, арккосинус - косинусу, арктангенс - тангенсу, арккотангенс - котангенсу. Поэтому еще одно распространенное собирательное название для них - аркфункции.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter